1、考研数学三（微积分）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )（A）1（B）（C）（D）3 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）一 f“(a)（B） f“(a)（C） 2f“(a)（D）4 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 =2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是
2、 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 =0，又 f(x)=一 2x2+0xg(x 一 t)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续7 f(x)g
3、(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导二、填空题8 设 f(x)= ，则 f(x)=_9 设两曲线 y=x2+ax+b 与一 2y=一 1+xy3 在点(一 1，1)处相切，则a=_，b=_10 设函数 y= 满足 f(x)=11 设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f“(0)=4，则12 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=一 2，则13 设 f(x
4、)为二阶可导的偶函数，f(0)1 ，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则14 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f(x)=|x|，则=_15 若 f(x)=2nx(1 一 x)n，记 Mn=16 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则17 设 y=y(x)由 yexy+xcosx 一 1=0 确定，求 dy|x=0=_18 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则19 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=1n2 处的法线方程为_20 设 f(x)= 在 x=1 处
5、可微，则 a=_，b=_ 21 设 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x) x 2，则f(0)=_22 设 f(x)在( 一，+)上可导，则 a=_23 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1， 2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_24 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 已知 求 a，b 的值26 设 求 a，b，c 的值27 确定 a，b ，使得 x 一 (a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小28 设 f(x
6、)连续可导，29 求30 f(x)= ，求 f(x)的间断点并分类，31 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间？考研数学三（微积分）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当|x a| 时，有 f(x)0，于是f(a)，即|f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，|f(z)|在 x=a 处也可导，选(A)【
7、知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 f“(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(xt)dt= 0xg(t)dt 得 f(x)=一 2x2+0xg(t)dt，f“(x)=一 4x+g(x)，因为 所以存在 0，当 0|x|时， 即当 x(一 ，0)时，f“(x) 0；当 x(0，) 时，f“(x) 0，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【
8、试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 存在，于是=f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左、右导数不一定相等，选(D)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然f(x)g(x) 在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)=一 1 在任何一点都可导，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 2x(l+4x)e 8x【试题解析】 由 得f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(l+4x)e8x【知识模块】 微积分9 【正确答案】
9、一 2；3【试题解析】 因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x2+ax+b 得=a 一 2，再由一 2y=一 1+xy3 得 且两曲线在点(一 1，1) 处相切，则 a 一 2=1，解得 a=b=3【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 e 2【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+
10、 +0(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 因为在(一 1，1)内 f(x)=|x|，所以在(1，1) 内 f(x)=由 f(0)=0 得 f(x)= 故【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=2n(1 一 x)n 一 2n2x(1 一 x)n 一 1=0 得时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，则为最大点，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一 2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx 一 1=0 两边对 x 求导得将 x=0
11、，y=1 代入上式得 =一 2，故 dy|x=0=一 2dx【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 当 x=1n2 时，t=1 ；当 t=+1 时，y=0 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 2；一 1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1由 f(x)在 x=1 处可微得a=2，所以 a=2，b=一 1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 F
12、(x)=x 20xf(t)dt 一 0xt2f(t)dt，F(x)=2x 0xf 一(t)dt，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x ，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1，2)+2f y(1，2)=3+4(3+8)=47【知识模块】 微积分24 【正确答案】 2x 一 4【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 【知识
13、模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 y=x 一(a+bcosx)sinx，y=1+bsin 2x 一(a+bcosx)cosx，y“=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y“=acosx+4bcos2x，所以令 y(0)=f“(0)=0 得故当 时，x 一(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 x=k(k=0，一 1，一 2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；得 x=一 2 为可去间断点；当 x=k(k=一 1，一 3，一 4，)时，由 =得 x=k(k=一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点；由 =得 x=1 为第二类间断点【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8 一 x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g 一(8 一 x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理F=ma 得【知识模块】 微积分
