1、考研数学三（微积分）模拟试卷 75 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=01f(x一 t)dt，G(x)= 01x(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 F(x)=xx+2esintstsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关3 设 a=05x dt，= 0sinx(1+t) dt，则当 x0 时，两个无穷小
2、的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点5 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） 一 xaf(t)dt（C） 一 x0f(t)dt 一 x0f(t)dt（D） 一 xxtf(t)dt二、填空题6 设xf(x)dx=arcstnx+C，则7 设 f(x)为连续函数，且满足 01(xt)dt=f(x)+xsinX，则 f(x)=_8 9
3、10 11 12 13 14 15 16 maxx+2x2dx=_17 18 19 20 21 22 设 f(x)满足等式 xf(x)一 f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_23 设函数 y=y(x)满足y= x+0(x)，且 y(1)=1，则 01y(x)dx=_24 设 ，则 a=_25 设 f(x)=01eostdt，求 0f(x)cosrdx26 设 f(x)连续，且 0xtf(2x 一 t)dt= arctanx2，f(1)=1，求 01f(x)dx27 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则28 I(x)= 在区间一 1，1上的最大值为_29
4、 设 f(x)的一个原函数为 xf(x)dx=_30 y= 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)?考研数学三（微积分）模拟试卷 75 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(x 一 t)dt=一 0xf(x 一 t)d(x 一 t)=0xf(u)du，G(x)= 0xxg(xt)dt
5、0xg(u)du，则 选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx 一 2esintsintdt=一 esintsintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=0(esintsint 一 e 一 sintsint)dt=0(esint 一 e 一 sint)sintdt，又(esint 一 e 一 sint)sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以两无穷小同阶但非等价，选(C) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0
6、2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)=一 xxtf(t)dt=20xtf(t)dt，(x+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf(t)dt+20x+Ttf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 cosx 一 xsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(a)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=一 2
7、sinx 一 xcosx，积分得 f(x)=cosx 一 xsinx+C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题
8、解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 4 一 【试题解析】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 e 一 1 一 e【试题解析】 02f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx|0f(x)sinxdx =一0ecosxsinxdx
9、ecosx|0=e 一 1 一 e【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【试题解析】 由 0xtf(2x 一 t)dt 2xx(2x 一 u)f(u)(一 du)=x2x(2x 一 u)f(u)du=2xx2xf(u)du 一 x2xuf(u)du 得 2xx2xf(u)du 一 x2xuf(u)du= arctanx2，等式两边对x 求导得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一 4xf(2x)+xf(x)= ，整理得 2x2xf(u)du一 xf(x)= ，取 x=1 得 212f(u)du 一 f(1)= ，故 12f(x)dx= 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 ln3【试题解析】 故 I(x)在 一 1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 t 时刻雪堆体积侧面积根据题意得因为 h(0)=130，所以 C=130，则 h(t)= +130=0，得 t=100，即经过 100 小时全部融化【知识模块】 微积分
