[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷76及答案与解析.doc

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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( )(A) 0xf(t)一 f(一 t)dt(B) 0xtf(t)+f(一 t)dt(C) 0xf(t2)dt(D) 0xf2(t)dt2 若由曲线 y= ,曲线上某点处的切线以及 x=1,x=3 围成的平面区域的面积最小,则该切线是( ) (A)(B)(C) y=x+1(D)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 f(x)连续,且 f(x)=2f(x 一 t)dt+ex,求 f(x)4 5 6 7 设

2、F(x)为 f(x)的原函数,且当 x0 时,f(x)F(x)= ,又 F(0)=1,F(x)0,求 f(x)8 设 f(lnx)= ,求 f(x)9 10 设 f(x)连续 0xtf(x 一 t)dt=1 一 cosx,求10 设 S(x)=0x|cost|dt证明:11 当 nx (n+1) 时,2nS(x)2(n+1) ;12 求13 设 f(x)在0,+)上连续,非负,且以 T 为周期,证明:14 设 f(x)在0,1上连续, f(0)=0, 01f(x)dx=0证明:存在 (0,1),使得 0f(x)dx=f()14 设 f(x)在(一 a,a)(a0)内连续,且 f(0)=2证明:

3、15 对 0xa ,存在 0 01,使得 0xf(t)dt+0xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x);16 求17 设 an= tannxdx(n2),证明:18 设 f(x)有界,且 f(x)连续,对任意的 x(一 , +)有|f(x)+f(x)|1证明:|f(x)|119 设 f(x)在( 一,+)上有定义,且对任意的 x,y (一 ,+)有|f(x)一 f(y)|x 一y|证明: abf(x)dx 一(b 一 a)f(a) (b 一 a)220 设 f(x)在0,1上连续,且 0mf(x)M,对任意的 x0,1,证明:21 设 f(x)在a,b上连续且单调增加,证明: abxf(x)

4、dx abf(x)dx22 设 f(x)在(0,+)内连续且单调减少证明: 1n+1f(x)dx f(k)f(1)+1nf(x)dx23 设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 0k1 时, 0kf(x)dxk01f(x)dx24 设 f(x)在0,1 上连续且|f(x)|M证明:| 01f(x)dx 一25 设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0,令 |f(x)|=M 证明:| 0af(x)dx|26 设 f(x)在0,1 上连续,且 f(1)一 f(0)=1证明:f 2(x)dx127 设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=0证明: abf2(x)dx abf(x)

5、2dx28 设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=f(b)=0证明:29 早晨开始下雪整天不停,中午一扫雪车开始扫雪,每小时扫雪体积为常数,到下午 2 点扫雪 2km,到下午 4 点又扫雪 lkm,问降雪是什么时候开始的?考研数学三(微积分)模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)一 f(一 t)为偶函数,所以 0xtf(t)一 f(一 t)dt 为奇函数,(A)不对;因为 f(t2)为偶函数,所以 0xf(t2)dt 为奇函数,(C)不对;因为不确定 f2(t)的奇偶性,所以(D) 不对

6、;令 F(x)=0xtf(t)+f(一 t)ldt,F( 一 x)=0 一 xtf(t)+f(一 t)dt=0x(一 u)f(u)+f(一 u)(一 du)=F(x),选(B) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y= 在点(t, )处的切线方程为 y=由于切线位于曲线 y= 的上方,所以由曲线 y=切线及 x=1,x=3 围成的面积为当 t(0,2)时,S(t) 0;当 t(2,3)时,S(t)0,则当 t=2 时, S(t)取最小值,此时切线方程为选(A).【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 0xf(x 一 t)d

7、t x0f(u)(一 du)=0xf(u)du,f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=ex,则 f(x)=(exe 一 2dxdx+C)e 一一 2dx=Ce2x 一 ex,因为 f(0)=1,所以 C=2,故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 因为(x 2ex)=(xx+2x)ex,【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 两边积分得 F2(x)= 解得 F2(x)= +C,由 F(0)=1,F(x)0,得 F(x)=【知识模块】 微积分8 【正确答案

8、】 令 lnx=t,则 f(t)= 当 t0 时,f(t)=t+C 1;当 t0 时,f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数,所以 f(t)也连续,于是有 C1=1+C2,故 f(x)=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由 0xtf(x 一 t)dt 0x(x 一 u)f(u)(一 du)=0x(x 一 u)f(u)du=x0xf(u)du 一 0xuf(u)du,得 x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=1 一 cosx,两边求导得 0xf(u)du=sinx,令x= 得 f(x)dx=1【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分11 【

9、正确答案】 当 nx(n+1) 时, 0n|cost|dt0x|cost|dt 0(n+1)|cost|dt, 0n|cost|dt=n0|cost|dt= 0(n+1)|cost|dt=2(n+1),则 2nS(x)2(n+1)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 nx(n+1) ,得 从而根据夹逼定理得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 对充分大的 x,存在自然数 n,使得 nTx(n+1) T,因为 f(x)0,所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt,注意到当 x+时,n+,且由夹逼定理得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)= 因为 f

10、(x)在0,1 上连续,所以 (x)在0,1上连续,在(0,1) 内可导,又 (0)=0,(1)= 01f(x)dx=0,由罗尔定理,存在 t(0,1),使得 ()=0,而 (x)= 所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+0 一 xf(t)dt,显然 F(x)在0,x上可导,且 F(0)=0,由微分中值定理,存在 01,使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F(x)x,即 0xf(t)dt+0 一 xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 =A,由 0xf(t)dt+0

11、 一 xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x),得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 a n+an+2= 同理an+an 一 2= 因为 tannx,tan n+2x 在 上连续, tannxtann+2x,且 tannx, tann+2x 不恒等,所以 tann+2xdx,即 ana n+2,于是=an+an+22a n,即 an 同理可证 an【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 (x)=exf(x),则 (x)=exf(x)+f(x), 由|f(x)+f(x)|1 得|(x)|ex,又由 f(x)有界得 (一)=0 ,则 (x)=(x) 一 (一)= 一 x(x)dx,两边取

12、绝对值得 e x|f(x)|一 x|(x)|dx一 xexdx=ex,所以|f(x)|1 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a)=abf(a)dx,所以| abf(x)dx 一(b 一 n)f(a)|=|abf(x)一f(a)dx|ab|f(x)一 f(a)|dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 0mf(x)M,所以 f(x)一 m0,f(x)一 M0,从而【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx,当 x1,2时,f(x)f(1),两边

13、积分得 12f(x)dxf(1),同理 23f(x)dxf(2), nn+1f(x)dxf(n),相加得nn+1f(x)dx 当 x1,2时,f(2)f(x) ,两边积分得 f(2)12f(x)dx,同理f(3)23f(x)dx,f(n) n 一 1nf(x)dx,相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx,于是n 一 1nf(x)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=0kf(x)dx 一 k0kf(x)dx+k1f(x)dx =(1 一 k)0kf(x)dx 一 kf(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2) 其中 10,k, 2k,1

14、因为0k1 且 f(x)单调减少, 所以 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2)0,故0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f()x,其中 介于 0 与 x 之间,因为 f(0)=0,所以|f(x)|=|f()x|Mx,x0,a ,从而| 0af(x)dx|0a|f(x)|dx0aMxdx=【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx, 得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)

15、dx=01f2(x)dx,即 01f2(x)dx1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由 f(a)=0,得 f(x)一 f(a)=f(x)=f(t)dt,由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(x 一 a)abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(x 一 a)dxf 2(x)dx=abf2(x)dx【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 且 f(a)=f(b)=0,所以【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a,路宽为 b,扫雪速度为 c,路面上雪层厚度为 H(t),扫雪车前进路程为 S(t),降雪开始时间为 T,则 H(t)=a(t一 T),又 bH(t)s=ct,【知识模块】 微积分

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