1、考研数学三（微积分）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt2 若由曲线 y= ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) （A）（B）（C） y=x+1（D）二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 设 f(x)连续，且 f(x)=2f(x 一 t)dt+ex，求 f(x)4 5 6 7 设
2、F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)8 设 f(lnx)= ，求 f(x)9 10 设 f(x)连续 0xtf(x 一 t)dt=1 一 cosx，求10 设 S(x)=0x|cost|dt证明：11 当 nx (n+1) 时，2nS(x)2(n+1) ；12 求13 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：14 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()14 设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2证明：
3、15 对 0xa ，存在 0 01，使得 0xf(t)dt+0xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)；16 求17 设 an= tannxdx(n2)，证明：18 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一 ， +)有|f(x)+f(x)|1证明：|f(x)|119 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且对任意的 x，y (一 ，+)有|f(x)一 f(y)|x 一y|证明： abf(x)dx 一(b 一 a)f(a) (b 一 a)220 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：21 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： abxf(x)
4、dx abf(x)dx22 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n+1f(x)dx f(k)f(1)+1nf(x)dx23 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx24 设 f(x)在0，1 上连续且|f(x)|M证明：| 01f(x)dx 一25 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 |f(x)|=M 证明：| 0af(x)dx|26 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明：f 2(x)dx127 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf2(x)dx abf(x)
5、2dx28 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明：29 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 lkm，问降雪是什么时候开始的？考研数学三（微积分）模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)一 f(一 t)为偶函数，所以 0xtf(t)一 f(一 t)dt 为奇函数，(A)不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D) 不对
6、；令 F(x)=0xtf(t)+f(一 t)ldt，F( 一 x)=0 一 xtf(t)+f(一 t)dt=0x(一 u)f(u)+f(一 u)(一 du)=F(x)，选(B) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y= 在点(t， )处的切线方程为 y=由于切线位于曲线 y= 的上方，所以由曲线 y=切线及 x=1，x=3 围成的面积为当 t(0，2)时，S(t) 0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时， S(t)取最小值，此时切线方程为选(A).【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 0xf(x 一 t)d
7、t x0f(u)(一 du)=0xf(u)du，f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=ex，则 f(x)=(exe 一 2dxdx+C)e 一一 2dx=Ce2x 一 ex，因为 f(0)=1，所以 C=2，故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 因为(x 2ex)=(xx+2x)ex，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 两边积分得 F2(x)= 解得 F2(x)= +C，由 F(0)=1，F(x)0，得 F(x)=【知识模块】 微积分8 【正确答案
8、】 令 lnx=t，则 f(t)= 当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，故 f(x)=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由 0xtf(x 一 t)dt 0x(x 一 u)f(u)(一 du)=0x(x 一 u)f(u)du=x0xf(u)du 一 0xuf(u)du，得 x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=1 一 cosx，两边求导得 0xf(u)du=sinx，令x= 得 f(x)dx=1【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分11 【
9、正确答案】 当 nx(n+1) 时， 0n|cost|dt0x|cost|dt 0(n+1)|cost|dt， 0n|cost|dt=n0|cost|dt= 0(n+1)|cost|dt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 nx(n+1) ，得 从而根据夹逼定理得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1) T，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt，注意到当 x+时，n+，且由夹逼定理得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)= 因为 f
10、(x)在0，1 上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 t(0，1)，使得 ()=0，而 (x)= 所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+0 一 xf(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0 一 xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 =A，由 0xf(t)dt+0
11、 一 xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x)，得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 a n+an+2= 同理an+an 一 2= 因为 tannx，tan n+2x 在 上连续， tannxtann+2x，且 tannx， tann+2x 不恒等，所以 tann+2xdx，即 ana n+2，于是=an+an+22a n，即 an 同理可证 an【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)， 由|f(x)+f(x)|1 得|(x)|ex，又由 f(x)有界得 (一)=0 ，则 (x)=(x) 一 (一)= 一 x(x)dx，两边取
12、绝对值得 e x|f(x)|一 x|(x)|dx一 xexdx=ex，所以|f(x)|1 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a)=abf(a)dx，所以| abf(x)dx 一(b 一 n)f(a)|=|abf(x)一f(a)dx|ab|f(x)一 f(a)|dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx，当 x1，2时，f(x)f(1)，两边
13、积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn+1f(x)dxf(n)，相加得nn+1f(x)dx 当 x1，2时，f(2)f(x) ，两边积分得 f(2)12f(x)dx，同理f(3)23f(x)dx，f(n) n 一 1nf(x)dx，相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是n 一 1nf(x)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=0kf(x)dx 一 k0kf(x)dx+k1f(x)dx =(1 一 k)0kf(x)dx 一 kf(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2) 其中 10，k， 2k，1
14、因为0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2)0，故0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间，因为 f(0)=0，所以|f(x)|=|f()x|Mx，x0，a ，从而| 0af(x)dx|0a|f(x)|dx0aMxdx=【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx， 得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)
15、dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)=f(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(x 一 a)abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(x 一 a)dxf 2(x)dx=abf2(x)dx【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t一 T)，又 bH(t)s=ct，【知识模块】 微积分
