1、考研数学三（微积分）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导2 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微3 设 f(x，y)在有
2、界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 z=xf(x+y)+g(x 一 y，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则 =_5 设 f(u，)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3f(x，y)，且 fx(1，2)=1，f y(1，2)=4，则f(1，2)=_6 设 z=f(x，y)二阶可偏导，
3、 =2，且 f(x，0)=1 ， fy(x，0)=x ，则 f(x，y)=_7 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x 3，则uxy“(x，3x)=_8 设(ay 一 2x 一 y2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)在a ，b上连续可导，证明： abf(x)dx|+ab|f(x)|dx10 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 01f(x2)dx11 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：12 设 f
4、(x)C0，1f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx12 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a113 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；14 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积15 求曲线 y=3 一|x 21|与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积16 求椭圆 =1 与椭圆 =1 所围成的公共部分的面积16 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S17 求旋转曲面的方程
5、；18 求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积19 证明： 0xasinxdx ，其中 a0 为常数20 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t 一 t2)sin2ntdt 的最大值不超过21 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x1，x 2a，b满足：ftx1+(1 一 t)x2tf(x1)+(1 一 t)f(x2)证明：22 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx23 令 f(x)=x 一x ，求极限24 设 u=f(x
6、， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+z 一 t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求25 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若证明：u 仅为 与 的函数(2) 若证明：u 仅为 r 的函数26 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在由 x 轴、 y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值27 设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 在点(0，0)处不连续28 设 (1)f(x，y)在点(0，0) 处是否连续？(2)f(x，y)在点 (0，0)处是否可微？29 设 A 从原点出发，以固定速度
7、0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学三（微积分）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(00)处连续；因为所以 f(0，0)=0根据对称性，f(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导；由得 f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)(0 ，0) 时，f x(x，y)= 则因为不存在，所以 fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0
8、，0)处也不连续，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有=0，因为 M0 为最大值点，所以 AC 一 B2 非负，而在 D 内有即 AC 一 B20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 f+xf“+x y 一 1g1+yxy 一 1ln
9、xg1+yx2y 一 1lnxg“11+2yy 一1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy 一1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2) =f+xf“+xy 一 1g1+yxy 一 1lnxg1+yx2y 一1lnxg“11+2yy 一 1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xfx(tx，ty)+yf y(tx，ty)=3t2f(x，y
10、)，取 t=1，x=1，y=2 得 f“x(1，2)+2f y(1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3 y(x，3x)=1，再对 x 求导，得“ xx(x，3x)+6“ xy(x，3x)+9u“ yy(x，3x)=0由 ，得 10“xx(x，3x
11、)+6“xy(x，3x)=0， u x(x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“xx(x，3x)+3u“ xy(x，3x)=3x2解得 u“xy(x，3x)=【知识模块】 微积分8 【正确答案】 4，一 2【试题解析】 令 P(x，y)=ay 一 2xy2，Q(x，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 =a 一4xy，于是 a=4，b=一 2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令|f(c)|=根
12、据积分中值定理， abf(x)dx=f()，其中 a，b由积分基本定理，f(c)=f()+ cf(x)dx，取绝对值得|f(c)|f()|+| cf(x)dx|f()|+ab|f(x)|dx，即【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由泰勒公式，得与 t 之间，从而f(x2)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 g(t)=1nt(t0)，g“(t)= 0，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(t 一 x0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)一 x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模
13、块】 微积分【知识模块】 微积分13 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=a2 的交点为(0，0)，(a ，a 2)当 0a1 时，S=S1+S2=0a(ax 一 x1)dx+a1(x1 一 ax)dx= 令 S=a2 =0 得 a=时，S 1+S2 取到最小值，此时最小值为当 a0 时，S= 0a(ax 一 x2)dx+0a(x2 一 ax)dx= 因为 S=(a2+1)0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S1+S2 取最小值，而 S(0)=时，S 1+S2 最小【知识模块】 微积分14 【正确答案】 旋转体的体积为 Vx=【知识模块】 微积分15 【正确答案】 显然所给的函
14、数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时，dV1=32 一3 一(x 2+2)2dx=(2x2 一 x4+8)dx，V 1=01dV1=01(2x2 一 x4+8)dx=dV2=32 一3 一(4 一 x2)2dx=(2x2 一 x4+8)dx，V 2=12dV2=122x2 一 x4+8)dx= 则 V=2(V1+V2)=【知识模块】 微积分16 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积，令 则 L1： =1 的极坐标形式为 L1：r 2=r22()=L2： =1 的极坐标形式为 L2：r 2=r22()=则第一象限围成
15、的面积为【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分17 【正确答案】 =一 1，1，1)，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M0(x0，y 0，z)，T(0 ，0，z)，由|MT|=|M 0T|，得 x2+y2=x02+y02，因为 M0 在直线AB 上，所以有 从而 代入 x2+y2=x02+y02 中得曲面方程为 S:x2+y2=(1 一 2)2+z2，即 S:x2+y22z22z+1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x2+y2)=(
16、2z22z+1)于是 V=01A(z)dz=【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x 一 x2)sin2nx(x 一 x2)x2n=x2n+1 一 x2n+2，于是 f(x)f(1)=01(x 一 x2)sin2nxdx01(x2n+1x2n+2)d
17、x=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 aabx(x)dxx0b把 x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)一 x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为x+m=x+m(
18、其中 m 为整数)，所以 f(x)=x 一x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，而 0nf(x)dx=n01f(x)dx=01xdx= ，同理 0n+1f(x)dx=所以 显然当 x时，n，由夹逼定理得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)因为所以 u是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (1)求 f(x，y)
19、在区域 D 的边界上的最值，在 L1:y=0(0x6)上，z=0；在 L2:x=0(0y6)上，z=0；在 L3：6=x(0x6)上，z= 一 2x2(6 一 x)一 2x312x2，由 =6x224x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)= 一 64，所以f(x，y)在 L3 上最小值为一 64，最大值为 0(2)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 AC 一 B2 0 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y)的极大点，极大值为 f(2，1)=4 ，故z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)一 64，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0f(x，y)一f(0，0)一 fxy(0，0)x 一 fy(0，0)y= 2sin 因为所以 f(x，y)在(0 ，0)处可微，当 (x，y)(0 ，0)时，在点(0 ，0) 处也不连续【知识模块】 微积分28 【正确答案】 (1)因为 0|f(x，y)| =0=f(0，0)，故f(x，y)在点(0，0)处连续所以 f(x，y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 即【知识模块】 微积分
