1、考研数学三（微积分）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( )（A）（B）（C） 01dx01f(x，y)dy（D）2 设 D=(x， y)|0x，0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( )（A）（B）（C）（D）3 设 ，其中 D:x2+y2a2，则 a 为( ) （A）1（B） 2（C）（D）二、填空题4 设 f(u)连续，则 0xduu1f(u2 一 2)d=_5 设 f(x)=0x ，则 0f(x)dx=_6 设 f(x)连续，则7 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2
2、t2 上连续且 f(0，0)=4，则8 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则9 设 D 为 xOy 面，则 f(y)f(x+y)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 z=(x2+y2)11 设 其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及12 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：13 14 设 u=U(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0，h(z ，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且15 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP
3、(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求16 设 z=z(x，y)满足 证明：17 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值18 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 P1，P 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q1=24 一 02p 1，q 2=10 一 005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大？最大利润为多少？19 设二元函数 f(x，y)=|x 一 y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处
4、的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 20 已知二元函数 f(x，y)满足 且f(x，y)=g(u，)，若 =u2+2，求 a，b21 计算 01dxx21(x2+y2)22 已知 设 D 为由 x=0、y 一 0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x，y)dxdy23 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)24 计算二重积分25 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)|x 2+y24x2+y22x26 计算 (x+y2)dxdy，其中 D:x2+y
5、22x+2y=127 设 f(x，y)= 且 D:x2+y22x，求 f(x+y)dxdy28 计算 其中 D=(x，y)|一 1x1，0y229 计算30 计算 其中 D 由 y=一 x，y= 围成31 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 0(m/s)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kgs 2/m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg s2/m2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学三（微积分）模拟试卷 78 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
6、项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y 选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)|0x ，0yx，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由解得 a=2，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 一 xf(x2 一 1)【试题解析】 0xduu1f(u2 一 2)d=一 xf(x2 一 1)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 r 2cos(+)【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确
7、答案】 8【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y)|一x+，0y1)上，f(y)=y；在D2:0 x+y1，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D2=(x，y)|一 yx1 一 y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 u=tx， =ty，=tz ，f(tx，ty， tz)=tkf(x，y，z)，两边对
8、t 求导得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得方程 u=(u)+yxP(t)dt 两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 当 4x2+y225 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x2+y2=25 时，令 F=x2+12xy+2y2+(4x2+y
9、2 一 25)，因为z(0， 0)=0， 所以目标函数的最大和最小值分别为 106 和一 50【知识模块】 微积分18 【正确答案】 p 1=120 一 5q1，P 2=200 一 20q2，收入函数为 R=p1q1+p2q2，总利润函数为 L=R 一 C=(120 一 5q1)q1+(200 一 20q2)q2 一35+40(q 1+q2)，由得 q1=8，q 2=4，从而 p1=80，p 2=120，L(8 ，4)=605 ，由实际问题的意义知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为 605【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(
10、0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0) 存在【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；当 0t1 时， 当1t2 时， 当 t2 时，F(t)=1.【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 D：x 2+y22x+2y-1 可化为 D:(x-1)2+（y-1） 21，则 (x+y2)dxdy=02dt01(1+rcost+1+2rsin2+r12sin12t)rdr【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 D1=(x，y)| 一 1x1，0yx 2，D 2=(x，y)|一1x1，x 2y2，【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1=(x，y)|0x1 ，【知识模块】 微积分31 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kx2，垂直方向的空气阻力 Ry=ky2，摩擦力为 W=(mg 一 Ry)，由牛顿第二定律，有【知识模块】 微积分
