1、考研数学三（微积分）模拟试卷 81 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+3(x)（B） C11(x)一 2(x)+C23(x)（C） C1(1(x)+2(x)+C21(x)一 3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 f(x)是连续函数2 求初值问题 的解，其中 a0；3 若|f(x)
2、|k，证明：当 x0 时，有|y(x)| (eax 一 1)4 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= 在(一，+) 求连续函数 y(x)，使其在(一， 1)及(1，+oo)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=05 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解6 利用变换 x=arctant 将方程 cos4x +cos2x(2 一 sin2x) +y=tanx 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解7 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)一
3、 30xf(t 一 x)dt=一 3x+2，求 f(x)8 设二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解9 设 u= 且二阶连续可导，又 =0，求f(x)9 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)一10 求 f(x)；11 证明：当 x0 时，e 一 xf(x)112 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=
4、的解13 设函数 f(x，y)可微, =ecoty，求f(x，y)13 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 a2f(a)一 f(1)若 f(1)= ，求：14 f(x)；15 f(x)的极值15 设函数 f(x)满足 xf(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：16 曲线 y=f(x)；17 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积18 位于上半平面的
5、上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 ,求 y=y(x)19 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线20 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积21 用变量代换 x=sint 将方程 (1 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解22 用变量代换 x=1nt 将方程 +e2xy=0
6、 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解23 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值24 飞机以匀速 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 0 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2 (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程25 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数26 某湖泊水量为 V，
7、每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 ，设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学三（微积分）模拟试卷 81 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以 1(x)一 3(x)，
8、2(x)一 3(x)为方程有 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)一 3(x)+C22(x)一3(x)+3(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1 一 C1 一 C2 或 C1+C2+C3=1，选(D)【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 y+ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ce 一 ax， 由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e 一 ax0xf(t)eatdt【知识模块】 微积分
9、3 【正确答案】 当 x0 时，|y|=e 一 ax|0xf(t)eatdt|e 一 ax0x|f(t)|eatdtke 一 ax0xeatdt= e一 ax(eax 一 1)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 当 x1 时，y一 2y=2 的通解为 y=C1e2x 一 1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x 一 1；当 x1 时，y2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1 一 0)一 e2 一 1，解得 C2=1 一 e 一 2，y=(1 一 e 一 2)e2x，补充定义y(1)=e2 一 1，则得在(一，+) 内连续且满足微分方程的函数【
10、知识模块】 微积分5 【正确答案】 令 P(x，y)=xy(x+y)一 f(x)y，Q(x， y)=f(x)+x2y，因为xy(x+y)一f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x2，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2=2，由 f(0)=0，f(0)=1 得 C1=2，C 2=1，所以 f(x)=2cosx+sinx+x22原方程为 xy2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy 2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一 2(ycosxdx+sinxdy)+(一
11、 ysinxdx+cosxdy)=0，即 d( x2y2+2xy 一 2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为 x2y2+2xy 一2ysinx+ycosx=C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 的特征方程为 2+2+1=0，特征值为 1 一 2=一 1，则 的通解为 y=(C1+C2t)e 一 t+t 一 2，故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)e 一 tanx+tanx 一 2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 0xf(t 一 x)dt=一 0xf(t 一 x)d(x 一 f)=一 0xf(一 u)du=0xf(u)du， 则有f(x)+2f(x)一 30xf(u)du=一
12、 3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数， 于是f(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f(x)+2f(x)一 30xf(u)du=一 3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f(x)一 3f(x)=一 3， 其通解为 f(x)=C1ex+C2e 一 3x+1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 原方程为 y“一3y+2y=一 ex原方程的特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则 y“一
13、3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 微积分9 【正确答案】 由 或 rf“(r)f(r)=0，解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2得 C1=2，于是 f(r)= f(r)=Inr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=1nx2【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分10 【正确答案】 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f“(x)=一(x+2)f(x) 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=一 1，所以
14、C=一 1，于是 f(x)=【知识模块】 微积分11 【正确答案】 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)e 一 x，g(0)=0，g(x)=f(x)+e 一 x= 0，由f(x)e 一 x(x0)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 代入原方程得 y“一 y=sinx，特征方程为 r21=0，特征根为 r1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*=acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b= 于是方程的通解为 y=C1ex+C2e 一 x 一 sinx，由初始条件得 C1=1，C 2=一 1，满足初始条件的特解为
15、y=ex 一 e 一 x 一 sinx【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 得 C=0，即 f(0，y)=siny又由 =一 f(x，y)，得 lnf(x，y)=一x+ln(y)即 f(x，y)=(y)e 一 x，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以 f(x，y)=e 一xsiny【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由题设知， 1af2(x)dx= a2f(a)一 f(1)，两边对 a 求导，得 3f2(a)=2a(a)+a2f(a)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x)=又因为为极大值【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分16
16、 【正确答案】 由 xf(x)一 2f(x)=一 x f(x)一 f(x)=一 1 f(x)=x+cx2设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则因为 V“(c)= 0，所以 c= 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x 一【知识模块】 微积分17 【正确答案】 f(x)=1 一 ，f(0)=1，曲线 f(x)=x 一 在原点处的切线方程为y=x，则 A=【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为p(2)=0，所以 C1=0，故 y=p= 进一步解得 因为y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为 y= +2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 曲线在点(x，
17、y)处的切线方程为 Y 一 y=y(X 一 x)，令 X=0，则Y=y 一 xy，切线与 y 轴的交点为 (0，y 一 xy)，由题意得 x2+x2y2=4，解得 y=积分得因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 y=【知识模块】 微积分20 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C1)，因为曲线 L1过点(1 ，1) ，所以 C1=一 1，故 L1:y=2x2 一 x对曲线 L2，由题意得因为曲线 L2 过点(1，1)，所以 C2=一 1，故L2：y=2 一 由 2x2x 一 2 一 得两条曲线的交点为 ( ，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为
18、【知识模块】 微积分21 【正确答案】 一 4y=0的通解为 y=C1e 一 2t+C2e2t，故原方程的通解为 y=C1e2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 微积分22 【正确答案】 +y=0 的通解为y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p|x=0=1，从而 y=因为曲线过点(0，1)，所以 C2=1+所求曲线为 因为时函数取得极大值【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为进一步解得 故轨迹方程为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400，【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为流出湖的污染物 A 的含量为 则在此时间元素内污染物 A 的改变量为于是令 m=m0，得 t=61n3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 微积分
