1、考研数学三（微积分）模拟试卷 85 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时 ax2+bx+ccosx 是比 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ）2 当 x0 时，e x（ax 2+bx+1）是比 x2 高阶的无穷小，则（ ）（A）a= ， b=1（B） a=1，b=1（C） a= ，b=1（D）a= 1， b=13 设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在 x=a 处可导的一个充分条件是（ ）4 设 f（ x）=arctanx （x1），则（ ）（A）f（x）在1 ，+ ）单调增加（B） f（x）在1，+
2、）单调减少（C） f（x）在1，+）为常数（D）f（x）在1 ，+ ）为常数 05 设 =1，则在 x=a 处（ ）（A）f（x）的导数存在，且 f（a ）0（B） f（x）取得极大值（C） f（x）取得极小值（D）f（x）的导数不存在6 7 设函数 f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且f（0）=g（0）=0 ，则函数 z=f（x）g（y）在点（ 0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A）f“（0） 0，g“（0）0（B） f“（0）0，g“ （0）0（C） f“（0）0，g“ （0）0（D）f“（0） 0，g“（0）08 设 f（ x）为连续函数，F（t
3、）= 1tdyytf（x）dx，则 F（2）等于（ ）（A）2f （2）（B） f（2）（C）一 f（2）（D）09 下列命题成立的是（ ）10 函数 y=C1ex+C2e2x+xex 满足的一个微分方程是（ ）（A）y“y 2y=3xex（B） y“y2y=3ex（C） y“+y2y=3xex（D）y“+y2y=3e x二、填空题11 12 设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f（x）=e f（x） ，f（2）=1，则f“（2）=_。13 设曲线 y=f（x）与 y=x2x 在点（1，0）处有公共的切线，则14 15 16 设函数 f（u）可微，且 f（2）=2 ，则 z=f（x
4、 2+y2）在点（1，1）处的全微分dz=_。17 D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（ 0，1）的梯形闭区域，则（1+x ）sinyd_。18 设 a1=1， （a n+1an）的和为_。19 三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“+y2y=0 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 f（x）=21 （）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a ，6）内可导，则存在 （a，b），使得 f（b）f（A）=f（）（ba）。（）证明：若函数 f（ x）在 x=0 处连续，在（0， ）（0）内可导，且 f（x）=A，则f+（
5、 0）存在，且 f+（0） =A。22 23 设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线y=f（x）与直线 y=0，x=1 及 x=t（t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。24 25 求函数 M=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。26 计算二重积分 |x2+y21|d，其中 D= （x，y）|0 x1，0 y1 。27 设 an= tannxdx。（）求 （a n+an+2）的值；（）证明对任意的常数0，级数 收敛。28 设幂级数 anxn 在（
6、一 ，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“2xy4y=0， y（0） =0，y （0）=1（）证明：a n+2= an，n=1 ，2，；（）求y（x）的表达式。29 设函数 y=y（x）在（一，+）内具有二阶导数，且 y0，x=x（y）是y=y（x ）的反函数。（ ）试将 x=x（y）所满足的微分方程=0 变换为 y=y（x）满足的微分方程；（）求变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，y （0）= 的特解。考研数学三（微积分）模拟试卷 85 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 （ax 2+bx+ccosx
7、）=0，得 c=1，又因为所以得b=0，a= 。故选 C。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=1+x+ +o（x 2），故 e2（ax 2+ bx +1）= （1b）x+（ -a）x 2+ o（x 2）显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小（x0 时），只要故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f（x）在 x=a 处可导，即该极限存在是 f（x）在 x=a 处可导的一个充分条件。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f（x）。【知识模块】 微积分5 【正确
8、答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解。取 f（x）f（a）= 一（x 一 a） 2，显然满足题设条件，而此时 f（x）为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是有可见有I1I 2，可排除 C、D，又由 I2 ，可排除 A，故应选 B 。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f（x）g（y），得当 f“（0） 0，g“（0）0 时，B 2AC 0，且 A0，此时 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值。因此正确选项为 A。【知识模块】 微积分8 【
9、正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 F（t）= 1tdy1tf（x）dx= 1tdx1xf（x）dy=1t（ x 一 1）f（x）dx， 于是 F（t）=（t1）f （t），从而 F（2）=f（2）。故选 B。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 =0 中至少有一个不成立，则级数 中至少有一个发散，故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1=1， 2=2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2+2=0 故对应的齐次微分方程为 y“+y2y=0。 又因为 y*=xe
10、x 为原微分方程的一个特解，而 =1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f（x）=Cex（C 为常数）。比较四个选项，应选 D。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知，f“（x）=e f（x） ，两边对 x 求导得 f“ （x）=e f（x） f（x）=e2f（x） ， f“（x）=2e 2f（ x） f（x）=2e 3f（x） 又 f（2）=1，故 f“（2）=2e 3f（x）=2e3。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2【试题解析】 根据已知条件有=2f （1）
11、=2。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt，故【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 4（dx+dy）【试题解析】 由题干可知，dz=f（x 2+y2）（2xdx+2ydy），则 dz|（1，1） =f（2）（2dx+2dy） =4（dx+dy ）。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 +sin1+cos12sin2cos2【试题解析】 积分区域可以表示为 D=（x，y）|0y1+x，0x1，则 （1+x）sinyd=01 dx01+x（1+x）sinydy= 01（1+x）一（
12、1+x ）cos（1+x）dx，利用换元法，令 1+x=t，x0 ，1时，t1，2，则【知识模块】 微积分18 【正确答案】 2020【试题解析】 级数 （a n+1an）的部分和数列为 Sn=（a 2a1）+（a 3a2）+（ an+1an）=a n+1a1=an+11。则 an+11=20211=2020。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 C 1e2x+C2cosx+C3sinx，C 1，C 2，C 3 为任意常数【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 322+2=0。 解上述方程可得其特征值为 2，i，于是其中一组特解为 e2x，cosx，sinx。 因此通解为y=C1e2x+C2
13、cosx+C3sinx，C 1，C 2，C 3 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 （）作辅助函数 （x）=f（x）一 f（a）一 （xa），易验证 （x）满足：（a）= （b）；（x）在闭区间a ，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点 ，使 （ ）=0，即 所以f（b） f（A ）=f（）（ ba）。（）任取 x0（0，），则函数 f（x）满足在闭区间0 ，x 0上连续，开区间（0，x 0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在故 f+（
14、0）存在，且 f+（0 ）=A。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 旋转体的体积为 V=1tf2（x）dx= 1tf2（x）dx，曲边梯形的面积为 s=1tf（x）dx，则由题可知 1tf2（x）dx=t 1tf（x）dx，即 1tf2（x）dx=t 1tf（x）dx。两边对 f 求导可得 f2（t）= 1tf（x）dx+tf（t），即 f2（t ）一 tf（t）= 1tf（x）dx，（*）等式两端求导可得 2f（t）f（t）f （t）一 tf（t ）=f（t ），化简可得（2f（ t）t）f （t）=2f（t），即 在（*）式中令 t=1，则 f2
15、（ 1）一 f（1）=0，因为已知 f（x）0，所以 f（1）=1，代入 t= 所以该曲线方程为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 问题可转化为一个约束函数的情况，求 u=x2+y2+x4+2x2y2+y4 在条件 x+y+x2+y2=4 下的最值，设 F（x，y， ）=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+（x+y+x 2+y24），令 解得（x 1，y 1）=（ 1，1），（x 2，y 2）= （2，2），代入 z=x2+y2，得 z1=2，z 2=8。同理可得原函数最大值为 72，最小值为 6。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 记 D 1=（x，y|x 2+y21，（x，y）D，D 2=（x，y）|x2+y21，（x，y） D，因此【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）记n（n1）anx n2，代入微分方程 y“2xy4y=0 有（）由初始条件 y（0）=0 ， y（0）=1，知 a0=0，a 1=1，于是根据递推关系式 an+2=【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）由反函数的求导公式知 由 y（0）=0，y（0）=，得 C1=1，C 2=1。故所求初值问题的特解为 y=exe x 一【知识模块】 微积分
