1、考研数学三（微积分）模拟试卷 86 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n与y n满足 =0，则下列判断正确的是（ ）（A）若x n发散，则y n必发散（B）若 xn无界，则y n必无界（C）若 xn有界，则y n必为无穷小（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小2 设函数 f（x）= 在（一，+）内连续，且 f（x）=0，则常数 a，b满足（ ）（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b03 f（x） = 则 f（x）在 x=0 处（ ）（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 设 f
2、（ x）可导且 f（x 0） = ，则当x0 时，f（x）在 x0 点处的微分 dy 是（ ）（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小5 设常数 k0，函数 f（x）=lrix +k 在（0，+）内零点个数为（ ）（A）3（B） 2（C） 0（D）16 设 f（ x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba ） abf（x）dx（ba） 成立的条件是（ ）（A）f（x） 0，f“ （x）0（B） f（x）0，f“ （x）0（C） f（x）0，f“ （x）0（D）f（x） 0，f“ （x）07 使不等式 lnx 成立
3、的 x 的范围是（ ）（A）（0，1）（B）（C）（D）（，+）8 设函数 z=f（x，y）的全微分为出=xdx+ydy，则点（0，0）（ ）（A）不是 f（x，y）的连续点（B）不是 f（x，y）的极值点（C）是 f（x，y）的极大值点（D）是 f（x，y）的极小值点9 设 f（ x，y）为连续函数，则 f（rcos ，rsin ）rdr 等于（ ）10 设 0an （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的是（ ）11 方程 y“3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为（ ）（A）y=axe x+b+Aexcos2x（B） y=aex+b+ex（Acos2x 十 Bsin2x）（C
4、） y=axex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）（D）y=axe x+b+ex（Acos2x+Bsin2x ）二、填空题12 设 y=（1+sinx） x，则 dy|x=_。13 曲线 y= 的过原点的切线是_。14 15 16 设函数 f（u）可微，且 f（0）= ，则 z=分（4x 2 一 y2）在点（1，2）处的全微分 dz|（1，2 ） =_。17 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 min（x，y）dxdy=_。18 若数列（a n+a2）+ （a 3+a4）+（a 2n1+a2n）+发散，则级数an_。19 微分方程 满足初始条件 y=1 的特解是_。三、
5、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 求函数 f（x）= 的单调区间与极值。22 设函数 f（x），g（x）在a ，b上连续，在（a ，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a ）=g（A），f（b）=g（b），证明：存在 （a ，b），使得f“（） =g“（ ）。23 设 f（x）= （）证明 f（x）是以 为周期的周期函数；（）求 f（x ）的值域。24 25 求二元函数 z=f（x，y）=x 2y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。26 设 D=（x，y）|x 2+y2 xy1+x2+y2 dxdy。27 设 a1=
6、2，a n+1= （n=1，2，）。证明：28 求级数 的和。29 设 f（u，）具有连续偏导数，且 fu（u， ）+f （u，）=sin（u+ ）e u+，求y（x）=e 2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 86 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足 xnyn=0，由此可排除 A、B。若取xn=0， yn=n，也满足 xnyn=0，又排除 C，故选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f（x）连续，故 a+ebx0，因此
7、只要 a0 即可。再由可知 x时，a+e bx 必为无穷大（否则极限必不存在），此时需 b0，故选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f+（0），f+（0）都存在可得，f（x）在 x=0 右连续和左连续，所以 f（x）在 x=0 连续；但f+（0）f （0），所以 f（x）在 x=0 处不可导。所以选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x）在 x0 点处可导及微分的定义可知 即当x0 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 因 令 f（x）=0，得唯一驻点 x=e，且在 f（x）
8、的定义域内无 f（x）不存在的点，故 f（x）在区间（0，e ）与（e，+）内都具有单调性。又 f（e ）=k0，而 所以 f（x）在（0，e）与（ e，+）内分别有唯一零点，故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需过点（a，f（A）且平行于 x 轴的直线在曲线 y=f（x）的下方，连接点（a，f（A）和点（b ，f（b）的直线在曲线 y=f（x）的上方，如图 124 所示。 当曲线 y=f（x）在a ，b是单调上升且是凹函数时有此性质。于是当 f（x）0，f“（x）0 成立时，上述条件成立，故选
9、C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 原问题可化为求 f（x）=成立时 x 的取值范围，由 0，t（0，1 ）知，当 x（0，1）时，f（x）0，故应选 A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 根据 又在（0，0）处， =0，ACB 2=1 0，根据二元函数极值点的判断方法可知，（0，0）为函数 z=f（x，y）的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知，积分区域 D 如图 145 所示，则原式= f（x，y）dx ，故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由 0an an
10、2 收敛，从而（1） nan2 绝对收敛，故选 D。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 齐次微分方程 y“3y+2y=0 的特征方程为 r 23r+2=0 特征根为r1=1，r 2=2，则方程 y“3y+2y=ex+1+excos2x 的特解为 y=axex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）， 故选 D。【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 dx【试题解析】 等式转换为：y=（1+sinx）e x=exln（1+sinx） ，于是y“=exln（1+sinx） ln（1+sinx）+x dy|x=y（）dx=dx 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 x
11、+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点（0，0）不在曲线上，首先求出切点坐标。设切点为则切线方程为把（0，0）代入上式得 x0=3 或 x0=15。则斜率分别为 k1=y |x=3=1；k 2=y|x=15= 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint，则【知识模块】 微积分16 【正确答案】 4dx2dy【试题解析】 直接利用微分的形式计算，因为 |（1，2） =fx（4x 2 一y2）8x| （1， 2） =4， |（1，2） =fy（4x 2 一
12、y2）（一 2y）| （1，2） =一 2，所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知， min（x，y）dxdy= 01dyy3ydx+01dy0yxdx=【知识模块】 微积分18 【正确答案】 发散【试题解析】 根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设 an 收敛，则级数（a 1+a2）+ （a 3+a4）+（a 2n1 一+a 2n）+收敛，与题设矛盾，故an 发散。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对y 的一阶线性方程，又因 y|x=2=10，则将 x=2，y=1 代入，得 C=1
13、。故 x=y2+y。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由已知条件有所以原式极限为 1。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 f（x ）= =0，可得，x=0，+1。列表讨论如下：因此，f（x）的单调增加区间为（1，0）及（1，+），单调减少区间为（一，1）及（0，1）；极小值为 f（1）=f（一 1）=0，极大值为 f（0）= 01【知识模块】 微积分22 【正确答案】 构造辅助函数 F（x）=f （x）g（x），由题设有 F（a）=F（b）=0。又 f（x），g（x）在（a，b）内具有相等的最大值，不妨设存在x1x2，x 1，x
14、2（a ，b）使得（a，b），使 F（c）=0。在区间a，c，c ，b 上分别应用罗尔定理知，存在 1（a，c ）， 2（c，b），使得 F（ 1） =F（ 2）=0。再对 F（x）在区间 1， 2上应用罗尔定理知，存在（ 1， 2） （a，b），有 F“（ ）=0，即 f“（）=g“ （ ）。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 故 f（x）是以 为周期的周期函数。（）因为|sinx|的周期为 ，故只需在 0，上讨论值域。因为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 先求 而且 f（x）是一元函数 f（u）与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量；（xy）是一元函数 （）与二元函数 =x
15、+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为 f（2，1）=4。再求 f（x，y）在 D 边界上的最值（1）在 x 轴上 y=0，所以f（x， 0）=0。（2）在 y 轴上 x=0，所以 f（0，y）=0 。（3）在 x+y=6 上，将y=6x 代入 f（x，y）中，得 f（x，y）=2x 2（x6），因此 fx=6x224x=0。得x=0（舍），x=4 。所以 y=6x=2。于是得驻点 相应的函数值（4，2）=x2y（ 4xy）| （4，2） =64。综上所述，最大值为 f（
16、2，1）=4，最小值为f（4， 2）=64。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 D1=（x，y）|0x 2+y21，x0，y0，D 2=（x，y）|1x2+y2 ，x0，y0。则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 （）显然 an0（n=1 ，2，），由初等不等式：对任意的非负数 x，y 必有 x+y 易知因此a n单调递减且有下界，故极限 an 存在。（）由 an单调递减，知 0，则原级数是正项级数。由 an1，得 0 anan+1。而级数 （a nan+1）的部分和 Sn= （a kak+1）=a 1an+1，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 y（x）=e 2xf（x，x），有 y（x）= 2e2xf（x，x）+e 2xf1（x，x）+f 2（x，x），由 fu（u，）+f u（u ， ）=sin（u+）e u+ 可得f1（x，x）+f 2（x，x）=（sin2x）e 2x 于是 y（x）满足一阶线性微分方程 y（x）+2y（x ）=sin2x 通解为 y（x）=e 2xsin2xe 2xdx+C，由分部积分公式，可得【知识模块】 微积分
