1、考研数学三（微积分）模拟试卷 88 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）和 （x）在（一 ，+ ）上有定义，f（x）为连续函数，且 f（x）0， （x）有间断点，则（ ）（A）（f （x）必有间断点（B） （x） 2 必有间断点（C） f（ x）必有间断点（D） 必有间断点2 设函数 f（x）= 则 f（x）在 x=0 处（ ）（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 已知函数 y=y（x）在任意点 x 处的增量 y= +，且当 Ax0 时， 是x的高阶无穷小，y（0）=，则 y（1）等于（ ）（A）2（B）
2、（C）（D）4 设函数 f（x）在（一，+）上有定义，则下述命题中正确的是（ ）（A）若 f（x）在（一， +）上可导且单调增加，则对一切（一 ，+），都有 f（x）0（B）若 f（x）在点 x0 处取得极值，则 f（x 0）=0（C）若 f“（x 0）=0，则（ x0，f （x 0）是曲线 y=f（x）的拐点坐标（D）若 f（ x0）=0 ，f“（x 0）=0，f“ （x 0）0，则 x0 一定不是 f（x）的极值点5 设某商品的需求函数为 Q=1602P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）（A）100（B） 200（C） 300（D
3、）4006 设 f（ x）= 0x（e costecost）dt，则（ ）（A）f（x）=f（x+2）（B） f（x）f（x+2 ）（C） f（x）f（x+2 ）（D）当 x0 时，f（x）f（x+2 ）；当 x0 时，f（x）f（x+2）7 已知 f（x，y）= ，则（ ）（A）f x（0，0），f y（0 ，0）都存在（B） fx（0，0）不存在， fy（0，0）存在（C） fx（0，0）不存在， fy（0，0）不存在（D）f x（0，0），f y（0 ，0）都不存在8 9 f（rcos ，rsin）rdr（a0），则积分域为（ ）（A）x 2+y2a2（B） x2+y2a2（x0）（C）
4、 x2+y2ax（D）x 2+y2ax（y0）10 设常数 0，且级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关11 微分方程 y“一 2y=ex+ex（0）的特解形式为（ ）（A）a（e x+ex）（B） ax（e x+ex）（C） x（ae x+bex）（D）x 2（ae x+bex）二、填空题12 13 sin（xt） 2dt=_。14 设 f（x）= 则 f（x）的极值为_，f（x）的拐点坐标为_。15 已知f（x 3）dx=x 3+C（ C 为任意常数），则 f（x）=_。16 已知 +ek|x|dx=1，则 k=_。17 设函数 z=z（x，y）由方程 z=e2x3
5、z+2y 确定，则18 设 f（x，y）连续，且 f（x，y）=x+ ，x=1 ，y=2 所围成的区域，则 f（x，y）=_。19 幂级数 的收敛域为_。20 微分方程 y“一 y+ =0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求极限22 求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数。23 设函数 f（x）在0 ，+）上可导，f（a）=0 且 =2，证明：（）存在a0，使得 f（a ）=1；（）对（）中的 a，存在 （0，a），使得 f（）=24 25 设 z=（x 2 一 y2，e xy），其中 f 具有连续二阶偏导数，求26 求二重积分 m
6、ax（xy，1）dxdy，其中 D= （x，y）|0 x2，0 y 2 。27 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和（x+1） 2+y2=1 所围成的平面区域（如图 142）。28 设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A 0，试讨论级数 是条件收敛，绝对收敛，还是发散？29 将函数 f（x）= 展开成 x 的幂级数。30 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0 ），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的
7、值。考研数学三（微积分）模拟试卷 88 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f（x）=1，x（一，+）， （x）= 则 f（x），（ x）满足题设条件。由于 （f（x）=1， （x） 2=1 ，f（x）=1 都是连续函数，故可排除 A、B、C，应选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f（0）=0，对于极限是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f（x）在x=0 处连续，排除 A、B 。又因为 不存在，所以 f（ x）在 x=0 处不可导，故选 C。【知识模块】 微积分3
8、 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y=y（x）在任意点 X 处的增量y= =0，故由微分定义可知 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得 ln|y|=arctanx+C1，即 y=Ceaarctanx，由 y（0）= 得C=，于是 y（x）=e arctanx。因此 y（1）=e arctanx= 故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 若在（一，+）上 f（x）0，则一定有 f（x）在（一 ，+ ）上单调增加，但可导函数 f（x）在（一，+）上单调增加，可能有 f（x）0。例如 f（ x）=x 3 在（一，+ ）上单调增加，f（0）=0。故不选
9、A。 f（x）若在x0 处取得极值，且 f（x 0）存在，则有 f（x 0）=0 ，但当 f（x）在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f（x 0）=0，例如 f（x）=|x|在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B。 如果 f（x）在 x0 处二阶导数存在，且（x 0，f（x 0）是曲线的拐点坐标，则 f“（x 0）=0，反之不一定，例如 f（x）=x 4 在 x0=0 处，f“（0）=0 ，但 f（x）在（一，+）没有拐点，故不选 C。由此选 D。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 商品需求弹性的绝对值等于 =1，因此得 P=40，故
10、选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 考查 f（x+2）f（x）= xx+2（e costecost）dt ，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 f（x+2）f（x）= （e costecost）dt=2 0（e costecost）dt 一 20（e cosuecosu）du，因此，f（x+2） f（x）=0，故选 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 所以 fy（0，0）存在。故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 结合二重积分的定义可得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=a
11、cos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax（a0），故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 取 an= 显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选 C。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r22=0，其特征根为r1，2 =+A，所以 y“2y=ex的特解为 y1*=axex，y“ 一 2y=e2x 的特解为 y2=bxex，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y=y1*+y2*=x（ae x+bex），因此选C。【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
12、 微积分13 【正确答案】 slnx 2【试题解析】 令 xt=u，则sinu2du=sinx2。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0；【试题解析】 对 f（x）求导，并令 f（x）= 2x=0，得 x=0，且当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f（0）=0。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 +C，C 为任意常数【试题解析】 对等式f（x 3）dx=x 3+C 两边求导，得 f（x 3）=3x 2。令 t=x3，则 f（t）= +C，C 为任意常数。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件， 已知要求极限存
13、在，所以 k 0于是有 1=0 ，因此 k=2。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2【试题解析】 偏导数法。在 z=e2x+3z+2y 的两边分别对 z，y 求偏导，z 为 x，y 的函数。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 1，1）【试题解析】 因为 =1，则收敛半径 R=1。当x=1 时，原级数为 收敛；当 x=l 时，原级数为 发散。因此收敛域为1，1）。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 y= （C 1+C2x），C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为 2+ 。因此齐次方程的通解为y= （
14、 C1+C2x），C 1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 f（x）=karctanxx，则 f（0）=0，且当 k1 时，f（x ）0，f（x）在（一 ，+）单调递减，故此时 f（x）的图象与 x 轴只有一个交点，也即方程 karctanxx=0 只有一个实根。当 k=1 时，在（一，0）和（0，+）上都有 f（x）0，所以f（x）在（一，0）和（0，+）上是严格单调递减的，又 f（0）=0，故 f（x）的图象在（一，0）和（0，+）与 x 轴均无交点。综上所述，k1 时，
15、方程 karctanx 一 x=0 只有一个实根；k1 时，方程 karctanx一 x=0 有三个实根。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）设 F（x）=f （x）1，x0 。因为 （0，+ ），使得F（a）=0 ，即 f（A）=1。（）函数在0，a上连续，在（0，a ）内可导，由拉格朗日中值定理，存在 （0，a）使得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为由已知条件可得=2xf11（2y）+f 12xe xy+exyf2+xyexyf2+yexyf21“（2y）+f 22“?xexy=4xyf11“+2（x 2
16、 一 y2）exyf12“+xye2xyf22“+exy（1+xy）f 2。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3（如图 1415）【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 D1=（x，y）|x 2+y24，D 2=（x，y）| （x+1） 2+y21，（如图 1421 所示）【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 =A，且在 x=0 处 f（x）连续，有由于 f（x）在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时 f（ x）0，由拉格朗日中值定理，有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 （）设曲线 L 的方程为 y=f（x），则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 =x（ax+C）=ax 2+Cx，又 f（1）=0，所以 C=a 故曲线 L 的方程为 y=ax2ax（x0）（ ）L 与直线 y=ax（a 0）所围成的平面图形如图 151 所示。 所以 D=02 ax一（ax 2ax）dx=a 0x（2x 一 x2）dx= 故 a=2。【知识模块】 微积分
