1、考研数学三（微积分）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值，f(/2)是极小值（B） f(0)是极小值， f(/2)是极大值（C） f(0)是极大值， f(/2)也是极大值（D）f(0)是极小值，f(/2)也是极小值2 设函数 f(x)，g(x) 具有二阶导数，且 g“(x)0)=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是（A）f(a)0（C） f“(a)0 3 设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有
2、（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点4 若 f(-x)=f(x)(-0，f“(x)0，f“(x)0，f“(x)0（C） f(x)05 设(x)= 丨 x(1-x)丨，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 设 f(x0)=f“(x
3、0)=0，f“(x 0)0，则下列选项正确的是（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点7 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点8 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x)0， x 为自变量 x 在点 x0 处的增
4、量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0x（C）在 (1-，1)内 f(x)x（D）在(1-，1)内 f(x)x；在(1，1+)内 f(x)asina,+2cosa+a考研数学三（微积分）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【知识模块】 微积分8
5、 【正确答案】 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 (-1) nn!2n/3n+1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 -2 n（n-1)!【知识模块】 微积分14 【正确答案】 4a 6【试题解析】 y(x)=3x 2-3a2，令 y(x)=0 有 x=a 或 x=-a由题设还有 a3-3a3+b=0 或-a3+3a3+b=0，所以 b=2a3 或 b=-2a3，即 b2=4a6。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 y=-2x【知识模块】 微积分1
6、6 【正确答案】 x-2y+2=0【知识模块】 微积分17 【正确答案】 y=x.【知识模块】 微积分18 【正确答案】 3(cm/s)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 3【知识模块】 微积分20 【正确答案】 （3,0）【知识模块】 微积分21 【正确答案】 3【知识模块】 微积分22 【正确答案】 2【知识模块】 微积分23 【正确答案】 y=1/5【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/
7、dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-1 所求初值问题的解为 y(x)=ex-e-x-1/2sinx【知识模块】 微积分26 【正确答案】 将方程看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得 ylny+y-1+y=0， 整理得 y(2
8、+lny)=1， (*) 在(*) 式中令 x=l，y=1 可得 y(1)=1/2将(*)式两端再对 x 求导数，得 y“(2+lny)+y.y/y=0 y“=-(y) 2/y(2+lny) 在上式中令x=1，y=1,y=1/2 即得 y“(1)=-1/8【知识模块】 微积分27 【正确答案】 引入函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)单凋增加因 F(x)在0，有连续的二阶导数，且F(x)=xcosx-sinx+， F()=0 ，F“(x) =cosx-xsinx-cosx=-xsinxF()=0， x(0， )这表明 F(x)在(0，)单调增加故当 0F(a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 微积分
