1、考研数学三（微积分）模拟试卷 90 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（ ）（A）x 2（B） 1cosx（C）（D）xtanx2 函数 f（x）=（x 2+x2）|sin2nx|在区间 上不可导点的个数是（ ）（A）3（B） 2（C） 1（D）03 2xlnxln（1+t）dt=（ ）（A）（B）（C） ln（1+Inx ）ln（1+2x）（D）ln（1+lnx）2ln（1+2x ）4 设函数 f（x），g（x）具有二阶导数，且 g“（x ）0。若 g（x 0）=a 是 g（x）的极值，
2、则 fg（x）在 x0 取极大值的一个充分条件是（ ）（A）f（a）0（B） f（a）0（C） f“（a）0（D）f“（A） 05 设 g（x）= 0x f（u）du，其中 f（x）= 则 g（x）在区间（0，2）内（ ）（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续6 设 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0，y 0）处的全增量，则在点（x 0，y 0）处（ ）（A）z=dz（B） z=fx（x 0，y 0）x+f y（x 0，y 0）y（C） z=fx（x 0，y 0）dx+f y（x 0，y 0）dy（D）z=dz+o （p）7 设平面 D 由 x+
3、y= ， x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1= （x+y） 3dxdy，I 2=sin（x+y） 3dxdy，则 （ ）（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I18 设有平面闭区域，D=（x，y）| axa，xya，D 1=（x，y）|0xa，xya ，则9 an 和 bn 符合下列哪一个条件可由 bn 发散？（ ）（A）a nbn（B） |an|bn（C） an|bn|（D）|a n|bn二、填空题10 11 f（x ）= g（x）为奇函数且在 x=0 处可导，则f（0）=_。12 曲线 tan（x+y+ ）=e y 在点（0，0）处的
4、切线方程为_。13 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点（1，0），则 b=_。14 15 e+16 17 设 z=（x+e y） x，则18 无穷级数 的收敛区间为_。19 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_。20 微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求极限22 设函数 y=y（x）由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。23 已知函数 f（x）在0 ，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f （1）=1。证明：（）存在 f（0，1），使得 f（）=1 一
5、 ；（）存在两个不同的点 ， （0，1），使得 f（）f （）=1。24 设函数 f（x）在0 ，3 上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）=02f（ x）dx=f（2）+f（3 ） （）证明存在 （0，2），使 f（）=f（0）； （）证明存在 （0，3），使 f“（）=0 。25 已知函数 f（u， ）具有连续的二阶偏导数，f（ 1，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y） 。求26 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 x2dxdy。27 计算积分28 设正项数列a n单调递减，且 （1） nan 发散，试问级数
6、是否收敛？并说明理由。考研数学三（微积分）模拟试卷 90 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小代换。由于 x0 时，所以当 x0 时，B、C 与 A 是同阶的无穷小，由排除法知选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 设 g（x）=x 2+x2，（x）=| sin2x|，显然 g（x）处处可导，（ x）处处连续，有不可导点。只须考查 （x）不可导点处 g（x）是否为零。（ x）=|sin2x|的图形如图 123 所示，在 ，1，其余均可导。因为g（0）=20， 处不可导，在 x=1 可导，其
7、余点均可导。故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 fg（x）=fg（x）g（x）， fg（x）“=fg（x）g （x） =f“g（x）g （x） 2+fg（x）g“（ x）， 由于 g（x 0）=a 是g（x）的极值，所以 g（x 0）=0。 所以fg（x 0）“=fg（x 0）g“（x 0）=f（a）g“（x 0），由于 g“（x 0）0，要使fg（x）“0，必须有 f（A）0。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f（x）在区间0，2上只有一个第一类间断点（x=1 为 f（x）的
8、跳跃间断点），所以 f（x）在该区间上可积，因而 g（x）= 0xf（u ）du 在该区间内必连续，故选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，则z=f x（x 0，y 0）Ax+fy（x 0，y 0）y+o （p）=dz+o（p），故选 D。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 0x+y1，则 In（x+y） 30，0 sin（x+y ）3（x+y ） 3，从而有 ln（x+y ） 3dxdy （x+y） 3dxdy，故选 C。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间
9、 D=（x，y）|axa，xya用直线 y=x 将其分成两部分 D1 和 D2，如图 147 所示，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy关于 x 和 y 均为奇函数，所以在 D1 和 D2 上，均有 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D1 积分不为零，在 D1 积分值为零，因此【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 反证法。如果 bn 收敛，由|a n|bn 知， an收敛与题设矛盾，故选 B。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 应用等价无穷小因子代换。因为【知识模块】 微积分11 【正确答案】
10、 2g（0）【试题解析】 由 g（x）在 x=0 处可导可知，g（x）在 x=0 处连续。又因为 g（x）是奇函数，所以 g（0）=0。根据导数的定义可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y=2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得因此，点（0，0）处的切线方程为 y0=（2）（x0），即 y=2x。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知y=x3+ax2+bx+1，则 y=3x2+2ax+b，y“=6x+2a。令 y“=0，得 x= =1，所以a=3。又因为曲线过点（1，0），代入曲线方程，得 b=3。【知识模块】
11、 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 t=x1 得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 1【试题解析】 原式可化为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=（x+ey） x，故 z（x，0）=（x+1 ） x，则【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 在原级数中令 ntn，由于 ntn 的收敛半径为1，收敛区间为（1，1）。由于 =t，t（0，1）所以【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=tan （1+x） 2+C，C 为任意常数【试题解析】 将已知微分方程变形整理得，【知识模块
12、】 微积分20 【正确答案】 y=e x（C 1cos2x+C2sin2x），C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 由题干可知，方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0解得则原方程的通解为 y=ex（C 1cos2x+C2sin2x），C 1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 要判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性，只需判断y“（ 1）的正负。在方程 ylny 一 x+y=0 两边对 x 求导得 ylny+y1+y=0，上式两边对 x 求导得 于
13、是 y（1）= 0，所以曲线 y=y（x）在点（ 1，1）附近是凸的。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）令 F（x）=f （x）1+x ，则 F（x）在0，1上连续，且F（0）=一 10，F（1）=1 0，于是由介值定理知，存在 （0，1），使得F（） =0，即 f（）=1 。（）在0， 和，1上对 f（x）分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点 （0，），（，1），使得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 （）设 F（x）= 0xf（t）dt，x0，3。由于 f（x）在0，3上连续，从而可知 F（x）在 0，3上可导。由拉格朗日中值定理可知 F（2）F（0）=F（）（20）
14、， （0，2），所以 02f（x）dx=2f （ ），又因为2f（0） =02f（x）dx，所以 f（）=f（0）。（）因 f（2）+f（3）=2f （0），即=f（0），又因为 f（x）在2，3上连续，由介值定理知，至少存在一点 12，3使得 f（ 1）=f （0）。因 f（x）在0，上连续，在（0，）上可导，且 f（0 ）=f（ ），由罗尔定理知，存在 1（0，），有 f（ 1）=0。又因为f（x）在 ， 1上是连续的，在（ ， 1）上是可导的，且满足 f（）=f （0）=f（ 1），由罗尔定理知，存在 2（ ， 1），有 f（ 2）=0 。又因为 f（x）在1， 2上是二阶可导的，且 f
15、（ 2）=f （ 2）=0，根据罗尔定理，至少存在一点（ 1， 2），使得 f“（）=0 。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 =f1（x+y ），f（x，y）+f 2（x+y），f（x，y）f 1（x，y），所以 =f11“（x+y），f（x，y）+f 12“（x+y），f（x，y）f 2“（x，y）+f 21“（x+y）f（x，y）f 1（x，y）+f 22“（x+y），f（x，y）f 2（x，y）f 1（x，y）+f 2（x，y），fx，y）f 12“（x，y），又因为f（1， 1）=2 是 f（u， ）的极值，故 f1（1，1）=0，f 2（1，1）=0，因此=f11“（2，
16、2）+f 12“（2，2）f 2（1，1）+f 21“（2，2）f 1（1，1）+f22“（2，2）f 2（1，1） f1（1，1）+f 2（2，2）f 12“（1，1）=f 11“（2，2）+f2（2，2）f 12“（1，1）。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由于正项数列a n单调递减，因此极限 an 存在，将极限记为a，则有 ana，且 a0又因为 （1） nan 是发散的，根据交错级数的莱布尼茨判别法可知 a0（否则级数 （1） nan 是收敛的）。已知正项级数 an单调递减，因此 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 也收敛。【知识模块】 微积分
