1、考研数学三（微积分）模拟试卷 91 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）= 则（ ）（A）f（x）在点 x=1 连续，在点 x=1 间断（B） f（x）在点 x=1 间断，在点= 1 连续（C） f（x）在点 x=1，x=1 都连续（D）f（x）在点 x=1，x=1 都间断2 设 f（ x）=|x|sin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f（ x）为可导函数，且满足条件 =1，则曲线 y=f（x）在点（1 ，f（1）处的切线斜率为（ ）（A）2（B） 1（C）（D）24 曲线 y=（x
2、1） 2（x3） 2 的拐点个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（A） 0xtf（t）f（t）dt（B） 0xtf（ t）+f（t ） dt（C） 0xf（t 2）dt（D） 0xf（t） 2dt6 设 =0，则 f（x，y）在点（0，0）处（ ）（A）不连续（B）连续但两个偏导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微7 设 D 为单位圆x2+y21，I 1= （2x 6+y5）dxdy，则（ ）（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I3I 2I 1（D）I 1I 3 I28 设区
3、域 D 由曲线 y=smx，x= （x 5y1）dxdy=（ ）（A）（B） 2（C） 2（D）9 若级数 bn 发散，则（ ）10 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y|x=2=1 的特解为（ ）（A）xy 2=4（B） xy=4（C） x2y=4（D）xy=4二、填空题11 12 已知 f（x）= 则 f （x）=_。13 已知 xy=ex+y，则14 曲线 y=（ x5） 的拐点坐标为_。15 16 0+17 将 01dy0yf（x 2+y2）dx 化为极坐标下的二次积分为_。18 交换积分次序19 幂级数 的收敛半径 R=_。20 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y（
4、1）=2 的特解为_。21 设 y=ex（asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 证明：（）对任意正整数 n，都有 成立；（）设 an=1+ lnn（n=1 ，2，），证明a n收敛。23 证明函数恒等式 arctanx= ，x （ 1，1）。24 设分（x）在a，b上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b）=1 ，证明：必存在 ，（ a，b）使得 ef（）+f （）=1。25 设 f（x）在区间a，b上可导，且满足 f（b）cosb=证明至少存在一点 （a ，b），使得
5、f（）=f（）tan。26 设 z=f（xy，yg（x），其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1 处取得极值 g（1）=1 ，求27 求二重积分 （xy）dxdy，其中 D= （x，y）|（x1）2+（y1）2 2，y x 。28 设区域 D=（x，y）x 2+y21，x0，计算二重积分29 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。考研数学三（微积分）模拟试卷 91 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由函数连续的定义可知，所以，f（x）在 x=1 处连续，故选 B。【知识模块】 微积分
6、2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f（3） （0）不存在。因此 n=2，选 C。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中极限条件两端同乘 2，得 由导数定义可知，f（1）=一 2，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2（x1）（x3） 2+2（x1） 2（x3）=4（ x1）（x2）（x3），y“=4（x2）（ x3）+ （x1）（x3）+（x 1）（x2）=4（3x 212x+11），令 y“=0，得 x1=2 又由y“=24（x2），可得 y“（x 1）0，y“（x 2）0 ，因此曲线有两个拐点，故选C。【知识模块】
7、 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 取 f（x）=x，则相应的 0xtf（x）一 f（一 t）dt=2t2dt= 0xf（t 2）dt= 0xt2dt= 0xf（t） 2dt=0xt2dt= 均为奇函数，故不选 A、C、D。应选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 f（x，y）f（0，0）+2xy=o（p），（当（x，y）（0，0）时）即 f（x，y）f（0，0）= 2x+y+o（p），由微分的定义可知 f（x，y）在点（0，0）处可微，故选 D。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，
8、y 3 是 y的奇函数，则 由于在 D 内|x|1，|y|1，则 x6+y6x4+y4，则 0 （x 4+y4）dxdy，从而有 I1I 3I 2。故选 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如图 148 中阴影部分所示，引入曲线 y=sinx 将区域分为 D1，D 2，D 3，D 4 四部分。由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于 x的奇函数积分为零，故 x5ydxdy=0；又由于 D3，D 4 关于 x 轴对称，可知在D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故 x5ydxdy=0。因此，=一 ，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】
9、 D【试题解析】 由（a n+|bn|）必发散，故选D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 两端积分得 ln|y|=2ln|x|+lnC，x 2y=C，将 y|x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4。应选 C。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为 =e3a=8，所以a=ln2。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，f（x）=cosx；当 x0 时，f（x）=1；【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得 y+xy=ex+y+y（1
10、+y），即其中 y=y（x）是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数。故【知识模块】 微积分14 【正确答案】 （1，6）【试题解析】 已知 x=1 时，y“=0，在 x=1 左、右两侧的微小邻域内，y“异号；x=0 时，y“不存在，在 x=0 左、右微小邻域内，y“ 0。其中 y（1）=6，故曲线的拐点为（1，6）。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 ln2【试题解析】 原式整理得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 如图 149 所示，则有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如
11、图 1413 所示，则有【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项，则【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为（xy）=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即 y=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y“2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为（rr 1）（rr 2）=r 2 一（r 1+r2）r+r 1r2=r22r+2=0，故所求微分方程为 y“2y+2y=0。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、
12、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 （）令 =x，则原不等式可化为 ln（1+x） x，x 0。先证明 ln（1+x）x， x0。令 f（x）=x ln（1+x ）。由于 f（x）=10，x0，可知 f（x）在0，+ ）上单调递增。又由于 f（0）=0，因此当x0 时，f（x）f （0）=0 。也即 In（1+x）x，x0。可知g（x）在0 ，+）上单调递增。又因 g（0）=0，因此当 x0 时，g（x）g（0）=0。即 再代入=x，即可得到所需证明的不等式。（）a n+1an=可知数列a n单调递减。又由不等式 因此数列an是有界的。由单调有界收敛定理可知数列 an收敛。【知识模块】 微
13、积分23 【正确答案】 令 f（x）=arctanx，g（x）= 要证 f（x）=g（x）在x（ 1，1）时成立，只需证明：（）f（x）， g（x）在（1，1）内可导，且当 x（ 1， 1）时，f （ x）=g（x）；（）存在 x0（1，1），使得 f（x 0）=g（x 0）。由初等函数的性质知，f（x）与 g（x）都在（1，1）内可导，且容易计算得到 即当x（一 1，1 ）时，f （x） =g（x）。又 f（0）=g （ 0）=0 ，因此当 x（一 1，1）时 f（x ）=g（x），即原等式成立。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F（x ）=e xf（x），由已知 f（x）及 ex
14、 在a，b上连续，在（a，b）内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ， （a，b），使得 F（b）F（a ）=e bf（b）e af（A）=F（ ）（ba） =e f（）+f（）（ba）及 ebea=e（ba）。将以上两式相比，且由 f（a ）=f（b）=1 ，则有ef（ ）+f（）=1。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 f（x）在区间a ，b上可导，知 f（x）在区间a，b上连续，从而 F（x）=f（x）cosx 在 （a ，b）使 F（）=f（ ）cosf（）sin=0，即 f（）=f（）tan ， （a，b）。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意 =f1（x
15、y，yg（x）y+f 2（xy，yg（x）yg（x），=f11“（xy，yg（x）xy+f 12“（xy，yg（x）yg（x）+f 1（xy，yg（x）+f21“（xy，yg（x）xyg（x）+f 22“（xy，yg（x）yg（x）g （x）+f2（xy，yg（x）g （x）由 g（x）在 x=1 处取得极值 g（1）=1，可知 g（1）=0故 |x=1，y=1 =f11“（1，g（1）+f 12“（1，g（1）g（1）+f1（1，g（1）+f 21“（1，g（1）g（1）+f 22“（1，g（1）g（1）g（1）+f2（1，g（1）g （1）=f 11“（1，1）+f 12“（1，1）+f 1（1，1）。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由已知条件，积分区域 D=（x，y）I（x1） 2+（y1）22，yx。由（x1） 2+（y1） 22，得 r2（sin+cos），于是【知识模块】 微积分28 【正确答案】 积分区域 D 如图 1422 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为（3，3）。当 x=3 时，因为都收敛。所以原级数在点 x=3 处收敛。【知识模块】 微积分
