1、考研数学三（微积分）模拟试卷 92 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 f（x）= 的极限（ ）（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在，但不为2 设 f（ x）=3x 3+x2|x|，则使 f（n） （0）存在的最高阶数 n 为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f（x）在闭区间a ，b上有定义，在开区间（a ，b）内可导，则（ ）（A）当 f（A）f （b）0，存在 （a，b），使 f（）=0（B）对任何 （a，b），有 f（x）f（ ）=0（C）当 f（a ）=f（b）时，存在孝（a，b），使 f（
2、）=0（D）存在 （n，b），使 f（b）f（A）=f（）（ba）4 设 f（ x）=|x（1x）|，则（ ）（A）x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）不是曲线 y=f（x）的拐点（B） x=0 不是 f（x）的极值点，但（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点（C） x=0 是 f（x）的极值点，且（0，0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）x=0 不是 f（x）的极值点，且（0，0）也不是曲线 y=f（x）的拐点5 6 考虑二元函数 f（x，y）的四条性质：f （x，y）在点（x 0，y 0）处连续，f（x，y）在点（x 0，y 0）处的两个偏导数连续， f（x，y）在点（x 0，y 0）
3、处可微，f（x，y）在点（ x0，y 0）处的两个偏导数存在。则有（ ）7 设 Dk 是圆域 D=（x， y）|x 2+y2l位于第后象限的部分，记 Ik= （yx）dxdy（k=1 ， 2，3，4），则（ ）（A）I 11（B） I20（C） I30（D）I 408 设 f（ x，y）连续，且 f（x，y）=xy+ 其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1所围区域，则 f（x，y）等于（ ）（A）xy（B） 2xy（C） xy+（D）xy+19 如果级数 （a n+bn）收敛，则级数 bn（ ）（A）都收敛（B）都发散（C）敛散性不同（D）同时收敛或同时发散10 设曲线 y=y（x）满足
4、xdy+（x2y）dx=0，且 y=y（x）与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y（x）=（ ）二、填空题11 设 a0， a1 且12 设函数 f（x）= 则 f（x）=_。13 设 y=y（x ）是由方程 确定的隐函数，则 y“=_。14 函数 y=x2x 在区间（0，1上的最小值为_。15 16 由曲线 y= 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_。17 已知极坐标系下的累次积分 其中 a0 为常数，则 y 在直角坐标系下可表示为_。18 设连续函数 z=f（x，y）满足 =0，则 dz|（0，1）=_。19 无穷级
5、数 的收敛区间为_。20 微分方程 满足初始条件 y（1）=1 的特解是 y=_。21 微分方程 y“2y+2y=ex 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求下列极限：23 设 a1， f（t）=a tat 在（一 ，+ ）内的驻点为 t（a ）。问 a 为何值时，t（a）最小？并求出最小值。24 设 f（x）在（1，1）内具有二阶连续导数且 f“（x）0。证明：（）对于任意的 x（ 1，0）（0，1），存在唯一的 （x） （0，1），使 f（x）=f （0）+xf（x） x）成立；25 设函数 f（x）在0 ，上连续，且 0f（x）dx= 0f（x）cosxd
6、x=0 ，试证明：在（0，）内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f（ 1）=f （ 2）=0。26 设 z=z（x，y）是由方程 x2+y2z=（x+y+z）所确定的函数，其中 具有二阶导数且 1。（）求 dz；（）记 u（x，y）=27 计算二重积分 （x+y） 3dxdy，其中 D 由曲线 x= =0 及x 一 =0 围成。28 求下列积分。 （）设 f（x）= 1xey2dy，求 01x2f（x）dx； （）设函数f（x）在 0， 1上连续且 01f（x）dx=A，求 01dxx1f（x）f（y）dy。29 求幂级数 x2n 在区间（1，1）内的和函数 S（x）。考研数学三（微积分）模
7、拟试卷 92 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2|x|在 x=0 处的最高阶导数的存在性。事实上，由 可看出，f（x）在 x=0 处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f（x）在闭区间a，b上有定义，而 A、C 、D 三项均要求f（x）在 a， b上连续，故三个选项均不一定正确，故选 B。【知
8、识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f（x）与 f“（x）均在x=0 两侧附近变号，即 x=0 是 f（x）的极值点，（0，0）也是曲线 y=f（x）的拐点，故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中 T ，故选B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f（x，y）的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f（x，y）可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 根据极坐标系下二重积分的计算可
9、知所以 I1=I3=0，I 2=应该选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 an=（a n+bn）b n，且 （a n+bn）收敛，当an 必发散，故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 =1，其通解为曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时， 当 x=0时，【知识模块】 微积分13 【正确答
10、案】 【试题解析】 在方程两边对 x 求导得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由于 y=（e 2xlnx）=x 2x2（lnx+1 ）= 所以 x 在上取得最小值，最小值为 y=【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 4ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 先将，表示成 用 D 的极坐标表示因此可知区域 如图1410 所示： 如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 根据 =0 以及函数 z 的连续性可知f（0， 1）=1，
11、从而已知的极限可以转化为或者 f（x，y）f（0，1）=2x （y1）+ 根据可微的定义，f（z，y）在点（0，1）处是可微的，且有fx（0，1）=2f y（0，1）=1，dz| （0，1） =2dxdy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 幂级数的系数为 an= ，根据收敛半径的判断方法，有【知识模块】 微积分20 【正确答案】 xe 1x【试题解析】 此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 所以原方程可化为 解此微分方程得 ln |lnu1|=ln|C 1x|，去绝对值可得 lnu=C 1x+1，u=e C1x+1，将 u|x=1=1 代入，得 C1=1，u=e 1
12、x，因此原方程的解为 y=xe1x。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为 （rr 1）（rr 2）=r 2 一（r 1+r2）r+r 1r2=r22r+2=0， 故所求微分方程为 y“2y+2y=0。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 （）因为（）利用定积分的定义可得（）利用定积分的定义可得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 f（t）=alnaa=0，解得 f（t）的驻点
13、为 t（a ）=1 对t（a）关于 a 求导，可得令 t（a ）0，解得ae e。则当 a e e 时，t（ a）单调递增；当 1a e e 时，t （a）单调递减。所以当a=ee 时，t（a）最小，且最小值为 t（e e）=1【知识模块】 微积分24 【正确答案】 （）由拉格朗日中值定理，对任意 X（1，1），x0，存在（0，1）使 f（x）=f（0）+xf（x），（ 与 x 有关）。又由 f“（x）连续且f“（x）0 ，故 f“（x）在（1，1）不变号，所以 f（x）在（1，1）严格单调， 唯一。（）由（）中的式子，则有由上式可得 的表达式，并令 x0 取极限得【知识模块】 微积分25 【
14、正确答案】 令 F（x ）= 0x（t）dt，0x，则有 F（0）=0，F（）=0。又因为 0=0（x）cosxdx= 0cosxdF（x） =F（x）cosx+| 0+0F（x）sinxdx = 0F（x）sinxdx，所以存在 （0，），使 F（）sin=0，不然，则在（0，）内 F（x）sinx 恒为正或恒为负，与（F（x）sinxdx=0 矛盾，但当 （0， ）时 sin0，故F（） =0。 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F（0）=F （）=F（）=0。 再对 F（x）在区间0， ，上分别应用罗尔定理知，至少存在1（0，）， 2（，），使得 F（ 1）=F（ 2）=0，即 f（ 1）=f（ 2）=0。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 （）对方程两端同时求导得 2xdx+2ydydz=（x+y+z）（dx+dy+dz ），整理得【知识模块】 微积分27 【正确答案】 积分区域如图 1416 所示，D=D 1D2，其中（3x 2y+y2）dxdy=0。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 则 S（x）=S 1（x）S 2（x），x（1，1）。由于【知识模块】 微积分
