1、考研数学三（微积分）模拟试卷 95 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把 x0 +时的无穷小量 =cost2dt，= 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）（A），（B） ，（C） ， （D）， 2 设 f（ x）在点 x=a 处可导，则函数|f （x）|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（A）f（a）=0，且 f（a）=0（B） f（a） =0，且 f（A）0（C）（ a）0，且 f（A ）0（D）（a） 0，且 f（A ）03 设函数 f（x）在（0，+ ）上具有二阶导数，且 f“（x）0，令 un=f（
2、n）（n=1， 2， ），则下列结论正确的是（ ）（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散4 已知函数）y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf（x） 2=lex，若 f（x 0）=0（x 00），则（ ）（A）f（x 0）是 f（x）的极大值（B） f（x 0）是 f（x）的极小值（C）（ x0，f（x 0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）f（x 0）不是 f（x）的极值，（ x0f（x 0）也不是曲线 y=f（x）的拐点5 曲线 y=x（ x1）（2x）与 x 轴所围成的图形
3、面积可表示为（ ）（A） 02x（x 一 1）（2 一 x）dx（B） 02x（x 一 1）（2 一 x）dx 一 x（x 一 1）（ 2 一 x）dx（C） 01x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 122x（x 一 1）（2 一 x）dx（D） 02x（x 一 1）（2 一 x）dx6 设函数 z（ x，y）由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则（A）x（B） z（C） x（D）z7 设函数 f（x，y）连续，则二次积分 等于（ ）（A） 01dy+arcsiny1f（x，y）dx（B） 01dyarcsiny1f（x，y）dx（C）（D）8 已知 an 等于（ ）（A）
4、3（B） 7（C） 8（D）99 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）二、填空题10 设 a1，a 2，a m 为正数（ m2），则11 已知 y=12 设函数 y= ，则 y（n） （0）=_ 。13 曲线 y= 的斜渐近线方程为_。14 15 设函数 z=z（x，y）由方程（z+y ） x=xy 确定，则16 设 z=xg（x+y）+y（xy），其中 g， 具有二阶连续导数，则17 二元函数 f（x，y）=x 2（2+y 2）+ylny 的极小值为_。18 已
5、知幂级数 anxn 在 x=l 处条件收敛，则幂级数 an（x1） n 的收敛半径为_。19 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 y|x= 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 证明 4arctanxx+ =0 恰有两个实根。22 设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为P=60- （P 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（）该商品的边际利润；（）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义；（）使得利润最大的定价 P。23 24 设 f（x）在a，b上有连续的导数，证明25 设函数 f（
6、u）在（0，+ ）内具有二阶导数，且 满足等式（）验证 f“（u）+ =0；（）若 f（1）=0，f（1）=1，求函数 f（ 1）的表达式。26 设 D=（x，y）|（x1） 2+（y1） 2=2，计算二重积分27 求幂级数 的收敛域及和函数 S（x）。28 求微分方程 y“3y+2y=2xex 的通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 95 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0+时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题
7、解析】 若 f（A）0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D。（当 f（x）在 x=a 可导，且 f（a）0 时，|f （x）| 在 x=a 点可导。）当 f（a）=0 时，上两式分别是| f（x）|在x=a 点的左、右导数，因此，当 f（a）=0 时，|f（x）|在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f（A）0 时，故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 本题依据函数 f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列un=f（ n）的敛散性。取 f（x）=lnx，f“（x）= 0，u 1=ln1=0ln2=u2，而 f（n）=lnn ，发散，则可排除 A；取
8、收敛，则可排除 B；取f（x） =x2，f“（x）=2 0，u 1=14=u 2，而 f（n ）=n 2 发散，则可排除 C；故选D。事实上，若 u1u 2，则 =f（ 1）0。而对任意x（ 1，+），由 f“（x ）0，所以 f（x）f（ 1） 1（1，2）0，对任意2（ 1，+），f（x）=f（ 1）+f（ 2）（x 1） + （x+）。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x 0）=0 知，x=x 0 是 y=f（x）的驻点。将 x=x0 代入方程，得x0f“（x 0）+3x 0f（x 0） 2=1ex0，即得 f“（x 0）= 0（分 x0 0 与 x
9、00讨论），由极值的第二判定定理可知，f（x）在 x0 处取得极小值，故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考 查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上， S= 02|y|dx=02|x（x1）（2x）|dx = 01|x（x 一 1）（2 一 x）|dx+12|x（x 一 1）（2 一 x）|dx = 01x（x 一 1）（2 一 x）dx+ 12x（x 一 1）（2一 x）dx。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 对已知的等式 两边求全微分
10、可得即正确选项为 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知， x，sinxy1 ，可转化为 0y1，arcslnyx，故应选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 （1） n1 一 1an=252=8，故选 C。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件可得【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 假设 a1 为最大值，则原式= =a1.1=a1。因此=max a1，a 2，a m。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有【知识模块】 微积分
11、12 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为于是所求斜渐近线方程为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 x1=t，则【知识模块】 微积分15 【正确答案】 221n2【试题解析】 把点（1，2）代入（z+y） x=xy，得到 z（1，2）=0 。在（z+y）x=xy 两边同时对 x 求偏导数，有 将x=1，y=2，z（1，2）=0 代入得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 g（x+y ）+xg“（x+y）+2y（xy）+xy 2“（xy）【试题解析】
12、 由题干可知，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，f x=2x（2+y 2），f y=2x2y+lny+1。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 1【试题解析】 由题干已知幂级数 anxn 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 an（x1） n 收敛半径也为 1。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y= （smxxcosx）【试题解析】 将已知方程变形整理得，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微
13、积分22 【正确答案】 已知 P=60 ，因此 Q=1 000（60P）。由总成本 C（P ）=60 000+20Q=1260 00020 000P，总收益 R（P） =PQ=1000P2+60 000P，总利润L（P） =R（P ）C （P）=1 000P 2+80 000P1 260 000。（）边际利润L（P）= 2 000P+80 000。（）当 P=50 时的边际利润为 L（50）= 2 00050+80 000=20 000，其经济意义为在 P=50 时，价格每提高 1 元，总利润减少 20 000 元。（）由于 L（P）在（0，40）递增，在（40，+）递减，故当 P=40 时，
14、总利润最大。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 可设 |f（x）|=|f （x 0）|，x 0（a，b），即证（b 一 a）|f（ x0） |abf（x）dx|+（b 一 a） abb|f（x）|dx ，即 |abf（x 0）dx| abbf（x）dx|（b 一 a） ab|f（x）|dx 事实上，| abf（x 0）dx| abf（x）dx| abf（x 0）一 f（x）dx|=|abxx0f（x）dtdx| abab |f（x）|dtdx=（b 一 a） ab |f（x）|dx 故得证。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 f（u） =lnu+
15、C2，由 f（1） =0 可得 C2=0，故 f（u）=lnu。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 （1+x 2）故 S（x）=2x 2arctanxxln（ l+x2），x（1，1）。由于所给幂级数在 x=+1 处都收敛，且 S（x）在 x=1 处都连续，所以 S（x）在 x=1 成立，即 S（x）=2x2arctanxxln（1+x 2），x 1，1。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 齐次方程 y“3y+2y=0 的特征方程为 r23r+2=0，由此得r1=2，r 2=1。即对应齐 次方程的通解为 Y=C 1e2x+C2ex 设非齐次方程的特解为 y*=（ax+b）xe x 则 （y ）=ax 2+（2a+b ）x+be x （ y*）“=ax 2+（4a+b）x+2a+2bex， 代入原方程得 a=1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1e2x+C2exx（x+2）ex。（C 1，C 2 为任意常数）。【知识模块】 微积分
