1、考研数学三（微积分）模拟试卷 98 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n，y n满足 ，则下列正确的是（A）若x n发散，则y n必发散（B）若 xn无界，则y n必有界（C）若 xn有界，则y n必为无穷小（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小2 f(x)=xsinx（A）在(一 ，+)内有界（B）当 x 时为无穷大（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有极限3 函数 在下列哪个区间内有界（A）(一 1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)4 若当 x时， 则 a， b，c 的值一定为（A）a=0 ，b=1，c 为
2、任意常数（B） a=0，b=1，c=1（C） a0，b，c 为任意常数（D）a=1 ，b=1，c=05 设 ，则下列结论错误的是（A）x=1，x=0 ，x=一 1 为间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=一 1 为无穷间断点（D）x=0 为跳跃间断点6 把当 x0 +时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），7 在中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、填空题8 =_。9 =_。10 =_。11 设 f(x)连续，且=_。12 设 则 a=_b=_13 函数 的连续区间是_三、解答题解答应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤。14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明：方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b23 求证：e x+e-x+2cosx=5 恰有两个根24 设常数 a bc ，求证：方程 在区间(a，b)与(b，c)内各有且仅有一个实根25 设 f(x)在a，b上连续，且 ac db求证：存在 (a，b)，使 pf(c)+q f(d)=(p+q)f()，其中 P0，q0 为任意常数26 已知数列x n满足：x 0=25，x n=arctanxn-1(n=1，2，3，)，证明x n的极限存在，并求其极限27 设数列x n由递推公式 确定，其中
4、a0 为常数， x0 是任意正数，试证 存在，并求此极限考研数学三（微积分）模拟试卷 98 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件 是无穷小量时y n是较 高阶的无穷小量，即 D 正确【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 设 xn=n(n=1，2，3，)，则 f(xn)=0(n=1，2，3，)；设这表明结论 A，B，D 都不正确，而 C 正确【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 注意当 x(一 1，0) 时有这表明 f(x)在(一 1，0)内有界故应选 A【知识模块】 微积分4 【正确
5、答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 计算可得由于 f(0+0)与 f(0一 0)存在但不相等，故 x=0 不是 f(x)的可去间断点应选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除 A 与 D又因即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除 B，即应选C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+ 的，仅当 n=3 并取“+”号时，即选 D【知识模块】 微积分二、
6、填空题8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 0【知识模块】 微积分11 【正确答案】 6【试题解析】 由积分中值定理知存在 x，x+2，可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则可得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (一，1)(1，+)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 本题是一 型未定式，提出无穷大因子 x2 后作变量替换 ，
7、可得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 用当 x0 时的等价无穷小替换 ex 一 1x 与 ln(1+x)x 化简所求极限【知识模块】 微积分19 【正确答案】 转化为适当的函数极限令 ，则【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 引入函数 f(x)=x 一 asinxb，则 f(x)=0 的根即方程 x=asinx+b 的根因 f(0)=一 b0，而 f(a+b)=a+basin(a+b)一 b=a1 一 sin(a+b)0若 f(a+b)=0，则 x=a+b0 便是 f(x)=0 的一个正根，若 f(a+b)
8、0，则由 f(x)在0，a+b上的连续性可知， ，使 f()=0总之函数 f(x)在(0，a+b上至少有一个零点，即原方程至少有一个正根不超讨 a+b【知识模块】 微积分23 【正确答案】 引入函数 f(x)=ex+e-x+2cosx 一 5，则 f(x)是(一，+)上的连续偶函数，且 f(0)=一 10，f(x)=e x 一 e-x 一 2sinx，从而 f(0)=0又 f(x)=ex+e-x 一2cosx= +2(1 一 cosx)0 成立，由此可见 f(x)当 x0 时单调增加，于是 f(x)f(0=：0 当 x0 时成立这表明 f(x)在 x0 是单调增加的注意 f()=e+e-一 7
9、 23 一 7=10，故根据闭区间上连续函数的性质可知 f(x)=0 在(0，)内至少有一个根，结合 f(x)在 x0 严格单调增加可知 f(x)=0 有且仅有一个正根由 f(x)为(一，+)上偶函数，f(x)=0 还有且仅有一个负根故方程 ex+e-x+2cosx=5 恰有两个根【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设函数 则 f(x)的零点就是方程的根因函数 f(x)分别在区间(a，b)与(b，c)内可导，且这表明在区间(a，b)内 f(x)的函数值从+单调减少到一 ，在区间(b ，c) 内 f(x)的函数值也从+单调减少到一，故 f(x)分别在(a ，6)与 (b，c) 内有且仅有一个
10、零点即方程 分别在(a，b) 与(b，c)内有且仅有一个实根【知识模块】 微积分25 【正确答案】 利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题由 f(x)在a ，b上连续，而c，dca ，b，可知 f(x)在c ，d上连续，于是存在从而即 是 f(x)在c， d上的值域m，M上的一个值由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在 c，dc(a，b) 使f()= ，即 Pf(c)+qf(d)=(P+)f()成立【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 f(x)=arctanx 一 x，则 f(0)=0，所以 f(x)单调减少，当 x0 时 f(x)f(0)=0，即 arctanxx，于是有 xn=arctanxn-1x n-1由此可知，数列 xn单调递减又x0=25， x1=arctan250，且对每个 n，都有 xn0，根据极限存在准则即知存在设 在 xn+1=arctanxn 两边取极限得 a=arctana，所以 a=0，即【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因 a0 ，x 00，由 xn 的递推式知 xn0又由算术平均值不小于几何平均值知 再由 知数列x n单调递减且有下界存在，设为 l在 566 两边令 n取极限，得 又据 l0 可解得【知识模块】 微积分
