1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(B)1，P(A 1)P(A2)0 且 P(A1 A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列等式成立的是 ( )（A）P(A 1A2| )（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)2 已知随机向量(X 1，X 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1，Y 2= ，则随机向量(Y 1，Y 2)的概率密度为 f2(y1，
2、y 2)= ( )3 设 X 为连续型随饥变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）P|X-C|=E|X-C| （B） P|X-C|E|X-C|（C） P|X-C|E|X-C|（D）P|X-C|DX 24 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ( )（A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关5 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 +(2-3a)S2 是 的无偏估计量，常数a
3、 应为 ( )（A）-1（B） 0（C）（D）1二、填空题6 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_7 设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀分布，则(X，Y) 的关于 X 的边缘概率密度 fx(x)在点 x=e 处的值为_8 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即则随机变量 Z=3X 一 2 的数学期望EZ=_ 9 设随机变量 X 与 Y 的分布律为且相关系数 则(X， Y)的分布律为 _10 设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简
4、单随机样本，则统计量 的数学期望和方差分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设矩阵 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P-1AP=A，A 是对角阵12 证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定12 设总体 XN( 1， 2)， yN( 1， 2)。从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X m 和 Y1，Y n 记样本均值分别为是 2 的无偏估计。求：13 C；14 Z 的方差 DZ14 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i， i=1，
5、2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n，设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=，i=1，2，k，试求：15 a1，a 2，a k 应取何值?16 使用 是无偏的，并且 最小?17 设X n是一随机变量序列，X n 的密度函数为：18 设 X1，X 2，X n，是独立同分布的随机变量序列，E(X i)=，D(X i)=2，i=1 ，2，令 证明：随机变量序列Y n依概率收敛于 19 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才
6、能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)20 用概率论方法证明：21 截至 2010 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过了 7 000 万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3 个小时可到达；沿第二条路径走 5 个小时又回到原处；沿第三条路径走 7 个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆22 设 X1，X 2，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N 只取正整数且N 与X n独立，求证：23 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以
7、Uk 表示 k 周的总需求量，试求：(1)U 2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)； (2)接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)24 设 X 和 Y 相互独立都服从 01 分布：PX=1=PY=1=06，试证明：U=X+Y， V=XY 不相关，但是不独立25 利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理25 某保险公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 000 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：26 亏损的概率 ；27 一年获利润不少于 40 000 元的概率
8、；28 一年获利润不少于 60 000 元的概率 考研数学三（概率统计）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 P(A 1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)一 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)一 P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F1(x1，x 2)，(y 1，y 2)的分布函数为F2(y1，y 2)，则【知识模块】 概率论
9、与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量，应有 =，即 +(23a)E(S2)=由于 =EX=，E(S 2)=DX=，将它们代入得 a+(23a)=，即 a=因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，设 X=“掷五次硬币，正面出现的次数”，则X ，而 y=5 一 X 为 5 次中反面出现的次数 记 A=“正面、反面都至少出现两次”，则 P(A)=P2X5 ，2Y5
10、=P2X5 ，25 一 X5 =P2X5，0X3=PX=2X=3【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 33 阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3EX 一 2=4【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 设(X，Y) 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2EA 的
11、秩应为 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 必要性 取 B=A-1，则 AB+BTA=E+(A-1)TA=2E，所以 AB+BTA 是正定矩阵 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量x00 使得 Ax0=0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 x 0T(AB+BTA)x0=(Ax0)TBx0+x0TBT(Ax0)=0，这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】
12、 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 作拉格朗日函数： G(a 1，a 2，a k，)=g(a 1，a 2，a k)+(a1+a2+ak 一 1)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 对任意给定的 0，由于【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由切比雪夫不等式得：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 Xi 是装运的第 i 箱的重量，n 表示装运箱数，则 E(X i)=50，D(X i)=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn，X n独立同分布， EY=50n，DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)，于
13、是【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个 Xk 服从参数为 1 的泊松分布，则【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设游客需要 X 小时到达中国馆，则 X 的可能取值为 3，5+3 ，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，要写出 X 的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径 ，即Y=i表示 “ 选择第 i 条路径”，则故 EX=15，即该游客平均要 15 个小时才能到达中国馆【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 以 Xi(j=1，2，3)表
14、示第 i 周的需求量，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3 (1)当 x0 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；对于 x0，有于是，两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度(2)设 F(x)是随机变量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=EF(x)2。于是，有【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UY)=E(UV)=E(X 2 一 Y2)一 E(X+Y)E(XY
15、)=E(X2)一 E(Y2)=0 于是，U=X+Y，V=XY 不相关 (2)现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0=P(X=0PY=0=016， PV=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0+PX=1P(Y=1=052， PU=0，V=0=PX=0，Y=0=PX=0P(Y=0 =0160160 52=PU=0PV=0， 可见 U 和V 不独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，同服从 0 一 1 分布； E(Xi)=p，D(X i)=pq(i=1， 2，n) ， S n=X1+X
16、2+Xn，E(S n)=np，D(S n)=npq，其中 q=1 一 p X1，X 2，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近似地 Sn=X1+X2+XnN(np，npq)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为 Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元。易见，随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，其中 n=10 000， p=0006； EX=np=60， DX=np(1 一 p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60， 5964)，随机变量 Y 近似服从正态分布 N(6，05964) 保险公司亏损的概率【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率【知识模块】 概率论与数理统计
