1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学：生，则他们的生日都不相同的概率是(2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 (3)将C，C，E ，E，J，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 (4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 X1，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为
2、F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1(x)一 F2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1(x)F 2(x)3 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 fZ(z)为 ( )（A）f Z(z)=-+f(x，z-x)dx（B） fZ(z)=-+f(x，x-x)dx（C） fZ(z)=-+f(x，z+x)dx（D）f Z(z)=-+f(-x，z+x)dx4 设随机向量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关
3、系数为 ，则 ( )二、填空题5 事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 _ 6 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功 ”不止一次的概率为 _7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则对 x0，f Y|X(y|x)=_8 设随机变量 X 和 Y 均服从 ，且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系=_9 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则 X与 Y 的协方差 Cov(X，Y)为_10 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)
4、的简单随机样本，则查表得概率等于 _ 11 设总体 X 的概率密度为X1， X2，X n 是来自 X 的样本，则未知参数 的最大似然估计值为_ 12 设总体 XN(a，2)，yN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差 SX2 和 SY2，则统计量服从的分布是 _ 13 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为1，2，10 的
5、十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：14 A=“某指定的五个盒子中各有一个球”；15 B=“每个盒子中最多只有一个球 ”；16 C=“某个指定的盒子不空 ”17 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率18 设 试证明：P(A)+P(B)一 P(C)119 设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立20 证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 A B 及 AB 都与 C 独立21 甲袋中有
6、 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率22 有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜，问甲、乙两人获胜的概率各为多少?23 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?23 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率：24 从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；
7、25 甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率26 设随机变量 X 在(0，3)内随机取值，而随机变量 y 在(X ，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y)27 设 X1，X 2，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p1=1 一 ，p 2= 一 2，p 3=2 一 3，p 4=3，记 Nj 为 X1，X 2，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1+N2+N3+N4=n。确定 a1，a 2，a 3，a 4 使 为 的无偏估计28 假设某季节性商品，适时地售出 1 千克可以获利 s 元，季后销售每千克净亏损t 元。假设一家商店在季节内该商品的销售
8、量 X(千克)是一随机变量，并且在区间(a， b)内均匀分布。问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?考研数学三（概率统计）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放入不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=“他们的生日都不相同”，则 (2)设A2=“至少有两个人的生日在同一个月”，则考虑对立事件，(3)设
9、A1=“恰好排成 SCIENCE”，将7 个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 C72 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两个位置，共有 C52 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3 !种，故基本事件总数为C72C523 !=1 260，而 A3 中的基本事件只有一个，故(4)设 A4=“最小号码为 5”，则综上所述，有 3 个结论正确，选择(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以【知识模块】 概率论与数理统计3 【正
10、确答案】 C【试题解析】 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则其中 Dz=(x，y)|yxz) 如图 3-1 的阴影部分所示，将代入得 F Z(z)=-+ dx-z f(x，u+x)du= -z du-+ f(x，u+x)dx【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 (1 一 a)(1b)【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=“成功”，则 P(A)=p，X=“n 次试验中A 发生的次数”，则 XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”
11、的概率为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 y 相互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【试题解析】 由题设【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0.9【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X 1+X2，X 1 一 X2)也服从二维正态分布，并且由 X1+X2N(0，2 2)，X 1 一 X2N(0，2 2)知 Cov(X1+X2，X 1
12、一 X2)=D(X1)一 D(X2)=0，即 X1+X2 与 X1 一 X2 相互独立此外，【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 因为由题设条件知，T 1 和 T2 分别服从自由度为 m 一 1 和 n 一 1 的 2 分布且相互独立，所以 T 服从自由度为(m 一 1)+(n 一 1)=m+n 一 2 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模
13、块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 55个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5 !个，所以【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 事件 B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C106 种选法)，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5 !种放法)，由乘法法则，事件 B 包含 C1055 !个基本事件，所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球 ”，即“5 个球都放入其他 9 个盒子中” ， 包含的基本事件数为 95，所
14、以【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设事件 Ai=“从 10 件产品中任取两件，有 i 件不合格品” ，i=0，1 ，2记 B=A1A2，按题意，所求概率为 P(A2|B)而因为 所以 P(A2B)=P(A2)，应用条件概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 因为 AB C，所以 PCP(AB)=P(A)+PB 一 P(AB)P(A)+PB 一1，故 P(A)+PB 一 PC1【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 一方面，若 A、B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)PB 0，所以 A、B 不相互独立；另一方面，若 A、B 相互
15、独立，则 P(AB)=P(A)PB 0，于是 AB ，即 A、B 不是互不相容的【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 P(A B)C)=P(AC BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC) =P(A)PC+PBPC一 P(A)PBPC =P(A)+PB 一 P(AB)PC =P(AB)PC，即 A B 与 C 独立即 AB 与 C 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 A=从乙袋中取出的是白球 ，B i=从甲袋中取出的两球恰有 i个白球 ，i=0，1，2由全概率公式 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)【
16、知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 Ai=第 i 次命中目标，i：1，2，所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 令 Ai=第 i 次中奖)(i=1，2，520)， P=P在一次购买彩票中中奖则事件 A1，A 2， ，A 520 相互独立，且 p=10-5所以【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 该随机试验分为两个阶段：选入， A 甲 ，A 乙 ； 射击，B= 目标被命中 则【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中 ，【知识模块】 概率论与数
17、理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于 NiB(n，p i)，i=1，2，3， 4，所以 E(Ni)=npi，从而有：=a1n(1)+a2n( 一 2)+a3n(2 一 3)+a4n3。 =na 1+n(a2 一 a1)+n(a3 一 a2)2+n(a4 一 a3)3若使 T 是 的无偏估计，即要求【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据条件随机变量 X 的概率密度为以 Y=P(h)表示销售利润，它与季初应安排商品的数量 h 有关，由条件知 为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润 Y=P(h)的数学期望。为此，首先注意到：ahb，销售利润 Y=P(h)的数学期望为 EY=EP(h)= ahsx 一(h 一 x)tf(x)dx+hb shf(x)dx =ah(s+t)xhtf(x)dx+shhb f(x)dx =(s+t)ahxf(x)dx 一 htahf(x)dx+sh1-ahf(x)dx =(s+t)ahxf(x)dx 一 hahf(x)dx+sh对 h 求导并令其等于 0，得于是，季初安排 h0 千克商品，可以使期望销售利润最大【知识模块】 概率论与数理统计
