1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为 p2，则该零件加工的成品率为 ( )（A）1 一 p1 一 p2（B） 1 一 p1p2（C） 1p1p2+p1p2（D）(1 一 p1)+(1 一 p2)2 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为其中 A 为常数，则 ( )3 设随机变量 X 与 y 相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）恰有
2、1 个间断点（D）有无穷多个间断点4 已知随机变量 X1(n=1，2，)相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 ( )(结果用标准正态分布函数 (x)表示)（A）(0)（B） (1)（C）（D）(2)5 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1)，p 2=PX1)，则 ( )（A）p 1p 2（B） p1p 2（C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较二、填空题6 设 A，B 是任意两个事件，则 = _7 设随机变量 X 的分布函数为 则 A，B 的值依次为 _ 8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量的概
3、率密度为_ 9 已知随机变量 XN(一 3，1)，YN(2 ，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X 一 2y+7，则 Z _ 10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 Z=XY 的方差 DZ 为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求：11 使用的最初 150 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；12 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布律；13 Y 的分布函数14 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 的指数分布，若等待时间超过 10 分钟，他就
4、离开。设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布律及 PY1)15 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y=eX 的概率密度 fy(y)16 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1 一 eX的概率密度函数 fy(y)17 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y=sin X 的概率密度18 设 X 在0，2上服从均匀分布，求 Y=cos X 的密度函数19 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数20 设随机变量 X 在0， 上服从均匀分布，求 Y=sin X 的密度函数2
5、0 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布，而且 PX1 X2=0=121 求 X1 与 X2 的联合分布；22 问 X1 与 X2 是否独立? 为什么 ?23 设随机变量 X 与 y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度 fz(y)24 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机变量 ZXY 的概率密度 fz(y)25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求二维随机变量(X 2，Y 2)的概率密度26 设 ，n 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 ，i=1，2 ，3，又设 X=max，) ，Y=min，)，试写出二维随机变量 (X，Y)的分布律
6、及边缘分布律，并求 P， 27 设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=|Xy|的概率密度及28 一商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值考研数学三（概率统计）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=“成品零件”，A i=“
7、第 i 道工序为成品”，i=1，2 P(A 1)=1 一p1，P(A 2)=1-p2， P(A)=P(A 1A2)=P(A1)P(A2)=(1 一 p1)(1 一 p2)=1 一 p1-p2+p1p2故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知=PY1)=PX1)
8、=P2因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 1，0【试题解析】 由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又于是，B=0，A=1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 Z 服从正态分布， EZ=E(X 一 2Y+7)=EX 一 2EY+7=一 34+7=0， DZ=D(X 一 2Y+7)=DX+22DY=1+4=5【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 其中D
9、=(x，y)|0x1，0yx如图 35 阴影部分所示关于 X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Y 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， YB(3，p)，其中 所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 Y 的分布列为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由题意 YB(5，p)，其中于是 Y 的分布为 PY=k)=C5k(e-2)k(1 一 e-2)5-k(k=0，1，2，3，4，
10、5)， PY1)=1 一 PY=0)=1 一(1 一 e-2)50516 7【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 用分布函数法。设 Y 的分布函数为 Fy(y)，则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由题设条件知，X 的密度函数与分布函数分别为所以当 y0 时，F Y(y)=PYy=P1 一 e-Xy=0，f Y(y)=0；当 0y1 时， F Y(y)=PYy=P1 一 e-Xy即随机变量 Y=1 一 e-X服从区间(0，1)上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 y 的分布函数为 FY(y)，则 FY(y)=Pyy=Psin Xy=P0X
11、arcsin yX arcsin y =P0Xarcsin y+1 一 PXarcsin y =FX(arcsin y)+1 一 FX(arcsin y)，所以【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 当一 1y1 时，F Y(y)=Pcos Xy=Parccos yX2 一 arccos y【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 对 X 的密度函数积分得 X 的分布函数设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当 y0 时，G(y)=Pyy)=PF(X)y)=0； 当 y1 时，G(y)=PYy)=PF(X)y)=1；当 0y1 时，即 Y=F(X)服从区间0，1上的均匀分布
12、【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由题设条件x=arcsin y，0y1； x=arcsin y，0y1所以，当 0y1 时， F Y(y)=fX(arcsin y).|(arcsin y)|+fX( 一 arcsin y).|( 一 arcsin y)|【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X2 的联合分布有如下形式： 其中 p12=p82=0 是由于 PX1 X2=0=1，所以，PX 1 X20)=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下：【知识模块】 概率论与数理统计22 【正
13、确答案】 由联合分布表可以看出 PX1=一 1，X 2=0)= 而 PX1=一 1PX2=0= 所以，X 1 与 X2 不独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 本题可以按以下公式先算出 Z 的分布函数 FZ(z)：然后对 FZ(z)求导算出 fZ(z)，但较麻烦 记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度 f Z(z)=-+(u)fY(z 一 u)du即 fU(u)fY(z 一 u)仅在Dz=(u，z)0 u2，z 一 u0)(图 39 的阴影部分) 上取值 ，在 uOz 平面的其他部分都取值为 0，所
14、以【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=一 Y 时，(X，Y 的概率密度不易计算应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z) 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 其中 Dz=(x-y)|xyz(直线 xy=z 的上方部分)，由 Dz 与 D=(x，y)|0 x1，0yx)(图310 的带阴影的OSC)相对位置可得：【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y 相互独立，且它们的概率密度都为记 u=g(x)=x2，它在 f(x)0 的区间(0 ，1)内单调可导，且反函数为 x=h(u)=
15、(0u1)，所以 U=X2 的概率密度由 X 与 Y 相互独立知 X2 与 Y2 相互独立，从而(X 2，Y 2)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 U=XY 的密度为 f U(u)=-+ fX(u+y)fY(y)dy=01fX(u+y)dy当 u一 1 或 u1 时，f U(u)=0； 当一 1u0 时，f U(u)=01fX fx(u+y)dy=-u1 1dy=1+u； 当0u1 时，f U(u)=01fX(u+y)dy=01-u 1dy=1 一 u，即【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设 T 为一周内所得利润，则【知识模块】 概率论与数理统计
