1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S n=X1+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布2 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是二、填空题3 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下) 。其中 ， 未知，但已知 ，则=_，=_
2、 ，EX=_ ，E(XY)=_。4 设(X，Y) 在 D1|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)=_，E(Y)=_， E(XY)=_。5 对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为_。6 设 X 为随机变量且 EX=，DX= 2。则由切比雪夫不等式，有 P|X|3_。7 在天平上重复称量一重为 a 的物品。假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2 2)。若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使n 的最小值应不小于自然数_。8 随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为一 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为一 05，则根据切
3、比雪夫不等式有 P|X+Y|6)_。9 设随机变量 X 和 y 相互独立且都服从正态分布 N(0，3 2)，而 X1，X 2，X 9 和Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本。则统计量服从_分布，参数为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益。11 设随机变量(X，Y) N(0，1；0，1；) ，求 Emax(X，Y)。12 设
4、随机变 X1，X 2，X n 独立同分布且 DX1=2，13 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到两次成功为止。设 X 为所需要进行的试验次数，求 X 的概率分布及 E(X)。14 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球。记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)。15 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平均长度。16 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X1=1)=p，P(X 1=0)=1 一 p，记17 对随机变量 X 和 Y，已知 E
5、X=3，EY= 一 2，DX=9，DY=2，E(XY)=一 5。设U=2XY 一 4，求 EU，DU。18 对随机变量 X，Y，已知 EX2 和 EY2 存在，证明：E(XY) 2E(X2)E(Y 2)。18 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20。以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。19 写出 X 概率分布；20 利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值。21 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。已知EXk=ak(k=1，2，3，4)，证明当 n 充分大时，随机变量 近似
6、服从正态分布，并指出其分布参数。22 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)一 0977，其中(x)是标准正态分布函数。 )23 设 X1，X 2，X n 是同分布的随机变量，且 EX1=0，DX 1=1不失一般性地设X1 为连续型随机变量。证明：对任意的常数 0，有 (不熟者可对 n=2 证明)24 两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响。试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座
7、位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=09900)25 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成。运行期间每个部件损坏的概率为01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率。(2)如果上述系统由 n 个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作。问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于 0957(1-645)=095)26 对随机变量 X，已知 ekX 存在(k0 为常数)，证明： (其中 0) 。27 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 097 试用切比雪夫不等式
8、和中心极限定理来分别求解(1645)=095)28 利用中心极限定理证明：29 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本，证明统计量 Z 服从自由度为 2的 t 分布。考研数学三（概率统计）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德贝格中心极限定理要求诸 Xi 独立同分布，因此(A)、(B)不能选(无法保证同分布) ，而选项(D) 却保证不了 EXi 及 DXi 存在，甚至排除不了Xi 为常数(即退化分布 )的情形，而中心极限定理却要求 Xi 非常数且 EXi 与 DXi 存在，故不选
9、(D) ，只有(C)符合要求，可选。【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 0；0；0【试题解析】 D 的面积为 2a2，故(X，Y)的概率密度为：【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由题意及切比雪夫不等式，得：【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 16【试题解析】 设第 i 次称量结果为 Xi，i=1，2， ，n。由题意： ，且 X1，X n 独立同分布，X 1N(
10、a ，02 2)。n4(196)2=1536 故 n 的最小值应不小于自然数 16。【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 若记 =X+Y，则 E=EX+EY=一 2+2=0，【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 t；9【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 =X 一 2，而 X 的概率分布为：【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正
11、确答案】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 设 AC、AD 的长度分别为 X、Y ，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 EY i=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，X i+1=1)+P(Xi=1，X i+1=0)=2p(1 一 p)，i=1， ，n， =2np(1 一 p)，而 E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1 一 p)，DYi=E(Yi2)一 (EYi)2=2p(1 一 p)12p(1 一 p)，i=1，2，n。 若 1 一 k
12、2，则Yk 与 Yl 独立，这时 cov(Yk，Y t)=0，而 E(YKYK+1)=P(Yk=1，Y k+1=1)=P(Xk+Xk+1=1，X k+1+Xk+2=1)=P(Xk+1=0，X k+1=1，X k+2=0)+P(Xk=1，X k+1=0，X k+2=1)=(1 一 p)2p+P2(1 一 p)一 p(1 一 p)，cov(Y k，Y k+1)=E(YkYk+1)一 EYkEYk+1=【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 EU=2EX-EY 一 4=23+24=4，DU=D(2XY 一 4)=4DX+DY一 4coy(X，Y)=49+24E(XY)一 EXEY=36+24
13、(一 5+32)=34【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 ，有 0E(X+tY)2=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)，故此二次型(变量为 t)无实根或有重根，所以其判别式0，而=4E(XY) 2 一 4EX2EY 2，即得E(XY)2E(X2)E(Y 2)。【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 由题意，XB(100，02)。即：Px=k)=C 100k02 k08 100-k，k=0 ，1， 2，100【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 EX=10002=20 ，DX=1000 208=16【知识模块】 概率与数理统计21
14、 【正确答案】 由题意可知，【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 记 Xi 为第 i 箱的重量，i=1 ，2，取整，故知每辆车最多可以装 98 箱。【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 由已知可知：E(X i2)=DXi+(EXi)2=1，i ；1，1设(X1+Xn)的概率密度为 f(x1，x 2，x n)，【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X 名选择甲影院，则 ，由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知：P(XN)=【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 (1)设有
15、X 个部件完好，则 XB(100，09)，EX=90，DX=9 ， P系统正常工作=PX85=(2)设有 Y 个部件完好，则 YB(n，09)，EX=09n，DX=009n，PX08n=得 n2435 即 n25【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x)，则EekX=-+ekxf(x)dx，而 PX)=【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)。现要求P(04 06)09，即 P(04nX06n)0 9(1) 用切比雪夫不等式；P(04nX06n)=P(|X 一 05n 01n)【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k=1 ，2，且Xk相互独立。由泊松分布的再生性知【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 由题意可设 XN(， 2)，得：故 E(Y1 一 Y2)= 一 =0，D(Y 1一 Y2)=DY,+DY2= Y1 一 Y2N 而S2 是由样本 X7，X 8，X 9 构成的样本方差，可知 ，且 S2 与 Y1，与 Y2都独立，故与 Y1 一 Y2 独立，【知识模块】 概率与数理统计
