1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aXbY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立2 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关3 若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(X
2、Y)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)4 设随机变量 XU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互独立（D）相关但不相互独立5 设(X 1，X 2，X 3)为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（A）（B） kX12+(1+k)X22+X32（C） X12+2X22+X32（D）二、填空题6 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_。7 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_8 设 X，
3、Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9 ，相关系数为 则 D(3X 一 2Y)=_9 设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且则 E(X 一 2Y+3)2=_10 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|=_，D|X-Y|=_11 设 D(X)=1，D(Y)=9 ， XY=一 03，则 Cov(X，Y)=_12 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2)_13 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 P| |2_14 设总体 XN(， 2)，
4、 X1，X 2，X n 是来自总体的简单随机样本，则15 设 X 为总体，E(X)= ， D(X)=2，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，S2= 则 E(S2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X，Y 相互独立，且 YN(0,1)，令 U=maxX，Y，求P(1U96(其中 (1)=0841，(96)=0975)17 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度18 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要
5、调整的部件数，求 E(X)，D(X)19 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)19 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 设A=Xa与 B=Ya)相互独立，且 求：20 a；21 22 某流水线上产品不合格的概率为 各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)23 设试验成功的概率为 失败的概率为 独立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望24 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、5 5 分从底层上
6、行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望25 设 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 v 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)26 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差27 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)27 设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件
7、和 10 件，现从中随机抽取一件，记28 求(X 1，X 2)的联合分布；29 求 X1，X 2 的相关系数30 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差31 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 求E(Z)，D(Z)32 设 XU(一 1，1) ，Y=X 2，判断 X，y 的独立性与相关性考研数学三（概率统计）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a 2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y) ， D(aX bY)=a2D(X)+b2
8、D(Y)一 2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+6y)=D(aX 一 6y)，所以 Cov(X，y)=0 ，即X，y 不相关，选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是 X，Y 不相关，选(D) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，
9、选(D) 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由 XU0，2得 因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因为统计量为样本的无参函数，选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y) =9Cov(X，X)一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=4
10、0D(Y)， 所以【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D(Y)=4D(X)=36 ， Coy(X，Y)=Coy(X，2X+3)=2Cov(X ，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X) 一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)一 12Cov(X，Y)=36【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X
11、)+4D(Y)一 4Coy(X，Y) ， 由得 D(X 一 2Y+3)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)=9+4+8=21， 于是 E(X2Y+3) 2=D(X 一 2Y+3)+E(X 一 2Y+3)2=21+4=25【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 令 Z=XY，则 ZN(0，2)， 因为 E|Z|2=E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=2， 所以 D|Z|=E|Z|2(E|Z|) 2=【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，所以从
12、而【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 由 得 由得 则 E(S2)=2【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 P(Uu)=P(maxX ，Y)u)一 PXu，Yu=P(Xu)P(Yu)， 则P(1U196)=P(U196)一 P(U1)=0067【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 XU(0，1)因为 X，Y 相互独立，所以于是当 z0 时，F Z(z)=0； 当0z1 时， 当 z1 时，所以【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 令 Ai=第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X
13、的可能取值为0，1，2，3， P(X=3)=P(A1A2A3)=0006， P(X=2)=105040398 0006=0092， 所以 X 的分布律为 E(X)=10398+20092+30006=06， D(X)=E(X 2)一E(X)2=120398+2 20092+3 20006036=046【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)， 因为所以 从而 p=1 一 FX(3)=e-1由 E(Y)=4e-1，D(Y)=4e -1(1 一 e-1)， 得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e-1 一 4e-2+16e-2=4e
14、-1+12e-2【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k-1p(k=1，2，) 则 D(X)=E(X2)一 EE(X)2=190100=90【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 令所以【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 游客等电梯时间设为 T，则 于是 【知识模块】 概率
15、统计25 【正确答案】 YB(4，p)，其中 E(Y2)=D(y)+E(Y)2=5【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 显然 XB(10，P)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18 ，4)，所以 所以 因此 E(X)=np=10081 85=81 85， D(X)=npq=1008185(108185)=14856【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 令 显然X=X1+X2+X10因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20，即 Xi 的分布律为 于是 E(Xi)=10
16、9 20。(i=1，2，10)，从而有 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 (X 1，X 2)的可能取值为(0，0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1) P(X1=0，X 2=0)=P(X3=1)=01， P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)=01， P(X 1=1，X 2=0)=P(X1=1)=0 8， P(X 1=1，X 2=1)=0 (X 1，X 2)的联合分布律为 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 E(X1)=E(X12)=08， E(X2)=E(X22)=01，E(X 1X2)=0， 则 D(X1)=016，D(X 2)=009 ，C
17、ov(X 1，X 2)=一 008， 于是【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|XY| ，X ，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X， Y)的联合密度函数为 【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)， 所以(X， Y)的联合密度函数为 【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0，因此 Cov(X，Y)=0 ，X ，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 【知识模块】 概率统计
