1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( )2 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容3 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(a)=1 0af(x)dx（B） F(a)= 0af(x)dx
2、（C） F(a)=F(a)（D）F(a)=2F(a)14 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布5 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY=05，且 P(aX+bY1)=05，则 ( )二、填空题6 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 则 P(X5y3)=_7 设随机变量 X 的密度函数为 则 E(X)=_，D(X)=_8 设总体 XN(， 2)
3、，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，则 D(S2)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则=_10 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)_11 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)12 设随机变量 XE()，令 求 P(X+Y=0)及 FY(y)13 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 i=1，2，3 设随机变量U=maxX，Y，V=minX ，Y (1)求二维随机变量(U ，V)的联合
4、分布；(2)求Z=UV 的分布； (3)判断 U，V 是否相互独立? (4)求 P(U=V)13 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为14 求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；15 判断随机变量 X，Y 是否相互独立；16 求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数17 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值17 设随机变量 X 的密度函数为18 求 E(X)，D(X)；19 求 Cov(X，X)，问 X
5、，X是否不相关?20 问 X，X是否相互独立?21 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令U=maxX1， X2，X n)，求 U 的数学期望与方差22 设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(y)=9， 用切比雪夫不等式估计 P X+Y31023 设 X1，X 9 为来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，令证明：Zt(2) 24 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 求 Y 的数学期望与方差25 设总体 X 的概率分布为是未知参数用样本值 3，1，3，
6、0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值26 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： 都是参数 无偏估计量，试比较其有效性考研数学三（概率统计）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有=P(B)P(AB)=P(B)选 B【知识模块】 随机事件与概率2 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与
7、任何随机变量独立；若 P(A)=1，则 B 独立，则 A，B 也独立，因为 P(A+B)=P(A)+P(B)，得 P(AB)=0，但 AB 不一定是不可能事件，选 D【知识模块】 随机事件与概率3 【正确答案】 B【试题解析】 F( a)= af(x)dx a+f(t)dt= a+f(t)dt=1 af(t)dt=1( a f(t)dt+a af(t)dt)=1F(a) 2 0af(t)dt 则 F(a)= 0af(x)dx，选B【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D【知识模块】 多维随
8、机变量及其分布5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2+4b2+2abCov(X， y)=a2+4b22ab， 即aX+byN(a+2b ，a 2+4b22ab)， 由 P(aX+by1)=05 得 a+2b=1，所以选 D【知识模块】 随机变量的数字特征二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3)=【知识模块】 多维随机变量及其分布7 【正确答案】 E(X)=1，【试题解析】 因为于是 E(X)=1，【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 【试题解析】 因
9、为 所以【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=0 6，所以 P(AB)=02又因为 =P(A)P(AB)，所以 =P(A)+P(B)2P(AB)=0804=0 4【知识模块】 随机事件与概率10 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得 因为 =P(B)P(AB)，所以 P(A)=P(B)，再由独立得 P(A)P 2(A)=【知识模块】 随机事件与概率11 【正确答案】 基本事件数 n=(a+b)!，设 Ak=第 k 次取
10、到黑球，则有利样本点数为 a(a+b1)!，所以【知识模块】 随机事件与概率12 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y= X)=P( X 1)=P(X1)+P(X1) =P(X1)=1P(X1)=1F X(1)=e FY(y)=P(Yy)=P(Yy，X1)+P(Yy，X 1) =P(XY， X1)+P(Xy，X1)+P(XY，X1) =P(XY，0X1)+P(Xy，X 1) 当 y1 时，F Y(y)=P(Xy)=e y；当1y Y(y)=P(X1)=e ；当 0y1 时，F Y(y)=P(XY)+P(X1)=1e y +e ；当 y1 时，F Y(y)=P(0X1)+P(X1)=1，故【知
11、识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 (1)由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)= i=1，2，3；P(U=2，V=1)=P(X=2 ，Y=1)+P(X=1，Y=2)= P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)= P(U=1，V=2)=P(U=1 ，V=3)=P(U=2 ，V=3)=0 所以(U，V) 的联合分布律为(3)由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)= P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=
12、1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)=所以 U，V 不相互独立(4)P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3 ，V=3)=【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布14 【正确答案】 X(x)= +f(x，y)dy当 x0 时， fX(x)=0；当 x0 时，f(x)= +f(x，y)dy= 0+2e(x+2y) dy=ex 0+e2y d(2y)=ex ，则fY(y)= +f(x，y)dx，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，fY(y)=0+2e(x+2y) dx=2e2y 0+ex
13、dx=2e2y ，则【知识模块】 多维随机变量及其分布15 【正确答案】 因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量 X，Y 相互独立【知识模块】 多维随机变量及其分布16 【正确答案】 F z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x，y)dxdy，当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，=0zex (1e xz )dx=1 ez zez 则【知识模块】 多维随机变量及其分布17 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 则 E(y)=10P(X=0)+5P(X=1)2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =100328+504
14、1020057=5 216(万元)【知识模块】 随机变量的数字特征【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 E(X)= +xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2)E(X) 2= +x2f(x)dx= +x2e xdx=(3)=2【知识模块】 随机变量的数字特征19 【正确答案】 因为 Cov(X，X)=EXX EX.EX=EXX = + xxf(x)dx=0 ，所以 X，X 不相关【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 对任意的 a0，PXa ，X a)=PXa) ，而 0P(Xa)1，所以 PXa，X aPX aP(Xa)，故X ，X 不相互独立【知识模块】 随机变
15、量的数字特征21 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(maxX1，X 2，X nu) =PX1u，X 2u，X nu)【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2 23=7于是 PX+Y 310=PUE(U)10【知识模块】 大数定律和中心极限定理23 【正确答案】 相互独立，由 t 分布的定义得【知识模块】 数理统计的基本概念24 【正确答案】 【知识模块】 数理统计的基本概念25 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1)+2 2+3(12)=34
16、 ，L()=22(1) 22(12) 4=46(1) 2(12) 4，lnL()=ln4+61n+21n(1)+4ln(12)，令 得参数 的最大似然估计值为【知识模块】 参数估计26 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)=P(Uu)=P(maxX1，X 2，X 3)u)=P(X1u，X 2u，X 3u)=P(X1u)P(X2u)P(X3u)=FV(v)=P(Vv)=P(minX1，X 2，X 3)v)=1P(minX 1，X 2，X 3)v)=1P(X 1v，X 2v，X 3v)=1P(X 1v)P(X 2v)P(X3v)=11P(X 1v)11P(X 2v)1P(X 3v)则 U，V 的密度函数分别为 所以都是参数 的无偏估计量因为更有效【知识模块】 参数估计
