1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）A+B 与 独立（B） A+B 与 C 不相容（C） A+B 与 不独立（D）A+B 与 对立2 连续独立地投两次硬币，令 A1=第一次出现正面，A 2=第二次出现正面，A3=两次中一次正面一次反面 ，A 4=两次都出现正面，则( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 4 相互独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立3 设随机变量 X
2、服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 y=minX，2 的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数4 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=FX(z)FY(z)（C） FZ(z)=maxFX(z)，F Y(z)（D）F Z(z)=FY(z)5 设随机变量 X，Y 相互独立，且 则与 Z=YX同分布的随机变量是( ) （A）XY（B） X+Y（C） X2Y（D）Y2X6 设随机变量 XU1，1，则随机变
3、量 U=arcsinX，V=arccosx 的相关系数为( )（A）1（B） 0（C）（D）17 设 Xt(n) ，则下列结论正确的是( ) （A）X 2F(1，n)（B）（C） X2 2(n)（D）X 2 2(n 一 1)二、填空题8 设每次试验成功的概率为 ，X 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_9 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=minX，Y)，则P(0Z1)=_10 设随机变量 X 的密度函数为 则 PXE(X)2D(X)=_11 将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计P(14X28)=_ 12 设总体 X，
4、Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1，X 9)与(Y 1，Y 9)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 P(A)=06， =_14 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中 A 发生的概率为_15 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率16 设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)116 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份
5、随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表17 求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p；18 设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q19 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： y=1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布20 设随机变量 X，Y 相互独立，且 YE(4) ，令 U=X+2Y，求 U的概率密度20 设 D=(x， y)0x1，0y1)，变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，令21 令 U=X+Z，求 U 的分布函数；22 判断 X，Z 是否独立23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 Z=XY，求 E(Z)，D(Z)23 设随机变
6、量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：24 D(Y)，D(Z) ； 25 YZ26 设 X1，X 2，X n(n2)是来自总体 XN(0 ，1)的简单随机样本，记 Yi=Xi(i=1，2，n)求：(1)D(Y i)；(2)Cov(Y 1，Y n)27 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记服从的分布28 设总体 X 的密度函数为 0 为未知参数，a0为已知参数，求 的极大似然估计量考研数学三（概率统计）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】
7、 因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，所以 P(AC)=P(A)PC，P(BC)=P(B)PC，且 AB= 而P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)，所以独立，正确答案为 A.【知识模块】 随机事件与概率2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 P(A3A4)=0，所以 A2，A 3，A 4 不两两独立，C、D 不对；因为 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，所以 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，选 B【知识模块】 随机事件与概率3 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(minX，2)y)=1P(
8、minX，2y) =1 P(Xy，2y)=1P(Xy)P(2 y)当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1 P(Xy)=P(Xy)=F X(y)，而 所以当 0y2 时，FY(y)=1e y ；当 y0 时，F Y(y)=0，即 显然FY(y)在 y=2 处间断，选 B【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X(z)FY(z)，选 B【知识模块】 多维随机变量及其分布5 【正确答案】 B【试题解析】 Z=Y X N(1，1)，因为 XyN(1，1)，X+y
9、N(1，1)，所以选 B【知识模块】 多维随机变量及其分布6 【正确答案】 A【试题解析】 当 PY=aX+b)=1(a0) 时， XY=1；当 PY=aX+b)=1(a0)时，XY= 1因为 arcsinx+arccosx=所以 XY=1，选 A【知识模块】 随机变量的数字特征7 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xt(n)，得 其中 UN(0 ，1)，V 2(n)，且 U，V相互独立，于是 选 A【知识模块】 数理统计的基本概念二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由 PX=k=(1p) k1 p(k=1，2，) 得【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 【试题解析】 由 X，
10、Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互独立，所以 F Z(z)=P(Zz)=1P(Zz)=1P(minX，Y z)=1P(Xz，Y z) =1 P(Xz)P(Yz)=11P(Xz)1 P(Yz) =11F X(z)1F Y(z)， 于是 P(0Z1)=F Z(1)F Z(0)=1【知识模块】 多维随机变量及其分布10 【正确答案】 【试题解析】 E(x)= 01xf(x)dx=016x2(1x)dx= E(X2)=01x2f(x)dx=016x3(1x)dx= 则 于是PXE(X)2D(X)【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 【试题解析】 设 Xi 为第 i 次的点
11、数(i=1，2，3，4，5，6)，则 其中由切比雪夫不等式，有【知识模块】 大数定律和中心极限定理12 【正确答案】 【试题解析】 由 X1+X2+X9N(0，81)，得 (X1+X2+X9)N(0，1)因为Y1，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 13) 2+(Y23) 2+(Y93)2 2(9)，即 (Y12+Y92) 2(9)，因此【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 由 =P(AB)=P(A)P(AB)=0 2 及 P(A)=06 得 P(AB)=0 4，再由 =P(BA)=P(B)P(AB)
12、=03 得 P(B)=07，所以【知识模块】 随机事件与概率14 【正确答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次)，则 =1(1 P)2，所以有即一次试验中 A 发生的概率为【知识模块】 随机事件与概率15 【正确答案】 设 A1=甲数为 5，A 2=甲数为 10，A 3=甲数为 15，B=甲数大于乙数 ， P(A1)=P(A2)=P(A3)= P(B A3)=1，则 P(B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3)=【知识模块】 随机事件与概率16 【正确答案】 因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以
13、 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)1，所以有 P(AB)P(A)+P(B)1，于是P(C)P(A)+P(B)1【知识模块】 随机事件与概率【知识模块】 随机事件与概率17 【正确答案】 设 Ai=所抽取的报名表为第 i 个地区的(i=1，2，3)， B j=第 j 次取的报名表为男生报名表(j=1，2)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=【知识模块】 随机事件与概率18 【正确答案】 【知识模块】 随机事件与概率19 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1e 2
14、x y)，当 y0时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1 时，F Y(y)=P(X +)=1；当 0y1 时，F Y(y)=P(1e 2x y)= 即所以 Y=1e 2x 在区间(0， 1)上服从均匀分布【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 F U(u)=P(Uu)=P(X+2Yu) p(X=1)P(X+2YuX=1)+P(X=2)P(X+2Yu X=2) 当 u1 时，F U(u)=0；当 1u2 时， 当 u2 时，故【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布21 【正确答案】 随机变量(X，Y)的联合密度为 U的分布函数为 F(x)=PUx)，当
15、 x0 时，F(x)=0 ；当 x2 时，F(x)=1；当 0x1时，F(x)=X+Zx)=PZ=0，Xx)=PXY，Xx= 0xdxx1dy=0x(1x)dx=当 1x2 时，F(x)=PZ=0，Xx)+PZ=1，Xx1)=PXY ，X1+PXY，Xx1 故 U 的分布函数为【知识模块】 多维随机变量及其分布22 【正确答案】 设(X，Z)的分布函数为 F(x，z) ，因为 所以 X，Z 不相互独立【知识模块】 多维随机变量及其分布23 【正确答案】 令 U=XY，因为 X，Y 相互独立，且E(Z2)=E(U2)=D(U)+E(U)2=1=D(Z)=E(Z2)E(Z) 2=【知识模块】 随机
16、变量的数字特征【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以【知识模块】 随机变量的数字特征25 【正确答案】 Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n =Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n【知识模块】 随机变量的数字特征26 【正确答案】 由因为X1，X 2，X n(n2) 相互独立，所以【知识模块】 数理统计的基本概念27 【正确答案】 因为 且它们相互独立，所以相互独立，所以由 t 分布的定义，有【知识模块】 数理统计的基本概念28 【正确答案】 L()=f(x 1)f(x2)f(xn)=1nL()=nln+nlna+得参数 的极大似然估计量为【知识模块】 参数估计
