1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 Amn 的秩 r(A)=mm 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵曰满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)形式2 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1, 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不
2、能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示3 设 1， 2， .， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2， .，A s 线性相关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2，.，A s 线性无关（C）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2，.，A s 线性相关（D）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2， .，A s 线性无关4 设 1， 2， .， s 均为 n 维向量，下列结论
3、不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2，. ， s ，线性无关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2，.， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.（D） 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关5 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=06 设向量组 1， 2，
4、3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1 （B） 1+2， 2+3， 3+1 （C） 1-22， 2-23， 3-21 （D） 1+22， 2+23， 3+21 7 设向量组 I： 1， 2，.， r 可由向量组： 1， 2，.， s 线性表示下列命题正确 的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs（B）若向量组 I 线性相关，则 rs.（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs8 设有任意两个 n 维向量组 1， 2，.， m 和 1， 2，., m，若存在两组不全为零的数 1， 2，.， m,k1，k 2，.，k m，使( 1+k1)+
5、2+k2)2+.+(m+km)m+=(1-k1)1+(2-k2)2+( m-km)m=0， 则（A） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性相关（B） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性_无关（C） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性无关（D） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关9 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向鞋组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的
6、行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关10 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3.（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 511 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仪有零解（D）当 mn 时必有非零解12 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 A
7、x=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量13 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 2+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1) （C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)14 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 Ax
8、=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（A）k 11+k2(1+2)+(1-2)/2（B） k11+k2(1-2)+(1+2)/2（C） k11+k2(1+2)+(1-2)/2（D）k 11+k2(1-2)+(1-2)/215 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解16 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵则对于线
9、性方程组(I) ：AX=0 和()：ATAX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解17 设齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均足 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；符 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0
10、 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 18 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 足 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(p -1AP)T 属于特征值 的特征向量是（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T二、填空题19 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则B-C 为 _.20 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 , 为
11、3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置 证明：21 秩 r(A)2；22 若 ， 线性相关，则秩 r(A)223 设向量 1， 2，.， t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11，k 22，.,k mm 由于 不能由 1
12、， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+lm-1m-1，则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，.，A s=A(1， 2，.， s)，所以 r(A1，A 2， .，A s)r(1， 2，.， s) 因为 1， 2，.， s 线性相关，有r(1， 2，.， s)1，A 2，.
13、，A s)1，A 2，.，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2，.， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，.，A s 线性无关，否则 A1，A 2，.，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 概率论与数据统计4 【正确答案】 B【试题解析】 按线性相关定义：若存在不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0， 则称向量组 1， 2，.， s 线性相关 因为线性无关等价于齐次方程组只有零解，那么，若 k1，k 2，k s 不全为 0，则(k 1，k 2，k s)T必不 是齐次方程组的解，即必有 k11+k22+kss0
14、可知(A)是正确的，不应当选 因为“如果 1， 2，.， s 线性相关，则必有 1， 2，.， s+1 线性相关”，所以，若 1， 2，.， s 中有某两个向量线性相关，则必有 1， 2，.， s 线性相关那么 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关因此(D)是正确的，不应当选【知识模块】 概率论与数据统计5 【正确答案】 D【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征
15、向量线性无关，所以 1， 2线性无关【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 A【试题解析】 这一类题目，最好把观察法与( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 法相结合因为 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于 (B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理 1+2， 2+3， 3+1 线性无关【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 A【试题解析】 因为向量组 I 可由线性表出所以 r(1， 2，.， r)r(1， 2，.， s)s 如果向量组 1 线
16、性无关，则 r(1， 2，.， r)=r可见(A)正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，0) T， 1=(1， 0，0) T， 2=(0，1，0)T， 3=(0，1， 0)T，可知(B) 不 正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(2，0，0)T， 3=(3，0， 0)T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T，可知(C) 不正确 关于(D)，请同学举一个简单的反例说明其不正确如：当向量组 1 只包含(0，0) T，向量组由(1， 0)T 与(0，0) T 组成时，便可否定选项(B) 与(D)【知识模块】 概率论与数据统计8 【正确答案】 D【试题解析】 若向量组
17、 1， 2，.， m 线性无关，即 若 x11+x22+xss=0，必有 x1=0，x 2=0，x s=0既然 1， 2，.， m 与 k1，k 2，.，k m 不全为零， 由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B)，(C) 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0， 不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0，不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 1(1+1)+2(2+2)+ m(m+m)+k1(1-1
18、)+k2(2-2)+km(m-m)=0，又 1， 2，.， m，k 1，k 2，.，k m 不全为零，故1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关故应选(D)【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 A【试题解析】 若设 A=(1，0)，B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向景组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A) 正确【知识模块】 概率论与数据统计10 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 B【试题解析】 因为
19、 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说 明有代数余子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n-1 阶子式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系仅含有一个非零解向量应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计13 【正确答案】 C【试题解析】 分析一 因为 1， 2， 3 足 Ax= 的 3 个线性无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解从而 n-r(A)2，即 3-r(A)2 r(A)1 显然 r(A)l，凶此 r(A)=1 由 n-r(A)=3-1=2，知(A)、(B)均不正确 又 A（ 2+3）/2=1/
20、22+1/2A3=,故 1/2(2+3)是方程组 Ax= 的解所以应选(C)， 注意：1/2(2+3)是齐次方程组 Ax=0 的解 分析二 用排除法( 2+3)/2 三是齐次线性方程组 Ax=0 的解，所以可排除选项(B)，(D)；又 2-1， 3-1 线性无关，所以 Ax=0 的基础解系至少包含 2 个解向量，从而可排除选项(A)因此应选(C) 【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查解的性质与解的结构从 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知Ax=b 的通解形式为 k 11+k21+, 其中， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解 由解
21、的性质知： 1， 1+2，( 1-2)/2， 1-2,1-2 都是 Ax=0 的解，( 1+2)是Ax=b 的解 那么(A)中没有特解 ，(C) 中既没有特解 ，且 1+2 也不是 Ax=0 的解(D)中虽有特解，但 1， 1-2 的线性相关性不能判定，故(A) 、(C)、(D)均不正确 唯(B) 中，( 1-2)/2 是 Ax=b 的解， 1， 1+2 是 Ax=0 的线性无关的解，是基础解系故应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若秩 r(A)=m，则m=r(A)r(A， b)m于是 r(A)=r(A，b) 故方程组有解，即应
22、选(A)或，由 r(a)=m，知 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量也是线性无关的亦知 r(A)=r(A，b)关于(B) 、(D)不正确的原因是：由 r(A)=n 不能推导出 r(A，b)=n(注意 A 是 mn 矩阵，m 可能大于 n)，由 r(A)=r 亦不能推导出 r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子?至于(C)，由克莱姆法则，r(A)=n 时才有唯一解，而现在的条件是 r(a)=r，因此(C)不正确本题答对的同学仅 40，一是由 r(A)=m 不会分析出 r(A，b)=m，一是由 r(A)=n误认为必有 r(A)=n【知识模块】
23、概率论与数据统计16 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I) 的解，则 A=0，那么 (A TA)=AT(A)：A T0=0，即 是()的解 若 是( )的解，有 ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0，即(A) T(A)=0 亦即 A 自己的内积 (A，A)=0 ，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I) 与()同解，故应选 (A)【知识模块】 概率论与数据统计17 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故(P -1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(pT)-1那么，由A= 知(P -1AP)T(pT)=PTA
24、(PT)-1(pT)=PTA=A(pT) 所以应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题19 【正确答案】 E【试题解析】 由 B=E+AB (E-A)B=E B=(E-A)-1 由 C=A+CA C(E-A)=A C=A(E-A)-1 B-C=(E-A) -1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E【知识模块】 概率论与数据统计20 【正确答案】 1/2【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数据统计21 【正确答案】 因为 ， 为 3 维列向量，那么 T， T 都是 3 阶矩阵，且秩r(T)1， r( T)1故
25、r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)2【知识模块】 概率论与数据统计22 【正确答案】 若 ， 线性相关，则 3 不全为 0 的 k1，k 2 使 k1+k2=O不妨设k20，则有 =ka，那么 r(A)=r T+(k)(k)T=r(1+k2)T=r(T)1【知识模块】 概率论与数据统计23 【正确答案】 (定义法) 若有一组数 k,k1，k 2，.，k t，使得 k+k 1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，.， t 是 Ax=0 的解，知 Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于 A0，故k+k1+k2+k
26、t=0 对重新分组为(k+k 1+kt)+k11+k22+ktt=0 把代入，得 k11+k22+ktt=0 由于 1， 2，.， t 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0，k 2=0，k t=0 代人式得：k=0 因此，向量组，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【试题解析】 (用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的-1 倍分别加至其余各列，有 (，+ 1，+ 2，+ t)( ， 1， 2，.， t) 因此 r(，+ 1，+ 2，+ t)=r(,1， 2，.， t) 由于 1， 2，.， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩 r(1， 2，.， t)=t，又 必不能由 1， 2，.， t 线性表出(否则 Aft=0)，故 r(1， 2，.， t,)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2，+ t)=t+1 即向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 概率论与数据统计
