1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01 分布2 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n-1(n1)，根据大数定律，当 n时 依概率收敛到零，只要X n，n1（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布3 设 X1，X 2，X n，相互独
2、立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时以 (x)为极限的是（A）（B）（C）（D）4 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，EX i=i，DX i=2，i=1 ，2，令 p=PY np，则（A）X n：n=1，2，满足辛钦大数定律（B） Xn：n=1，2，满足切比雪夫大数定律（C） p 可以用列维一林德伯格定理近似计算（D）p 可以用拉普拉斯定理近似计算5 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，X 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则（A）（B）（C）（D）6 设 X1，X n，X n+1， ，x 2n，X 2n+1，X 3n 是取自正态分布
3、总体 N(， 2)的一个简单随机样本(n2)，记则一定有（A）（B） Si2 2(n1)（C）（D）7 设 X1，X 2，X n 是取自总体 x 的一个简单随机样本，DX= 2， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是（A）（B）（C）（D）8 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记则（A）ES=（B） ES2=2 （C）（D）9 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） Px=m=(1 一 )m-1，m=1 ，2，（D）X 服从0，上均匀分布二、填空题10 设
4、随机变量 X1，X 2，X n，Y 1，Y 2，Y n 相互独立，且 Xi 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1 ，2，n，则当 n 充分大时，近似服从_分布，其分布参数为_与_11 设总体 X 服从参数为 p 的 0 一 1 分布，则来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_。12 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从_分布，其分布参数分别为_和_13 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，
5、分布参数为_14 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 =_。15 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本 的数学期望为2，则 a=_，b=_.16 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为 =_， =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记当，2 充分大时，求 Sn 的近似分布18
6、 假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率19 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率20 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1 分，选择错误得 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率21 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才
7、能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?22 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 X 与S2，且 XB(1，p)，0P1(I)试求：X 的概率分布；()证明：23 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：24 设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 Q=aX1+6(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2 服从 2 分布，并求自由度 m25 设总体 X 和 y 相互独立，分别服从 N(， 12)，N(，
8、 22)X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 ，样本方差分别为 SX2，S Y2令 求EZ25 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为与 S226 如果 EX=，DX= 2，试证明： 的相关系数27 如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=028 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求29 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n(n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：30 设 45
9、6 都是来自正态总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 00131 设总体 X 的概率分布为 其中 p(0p1)是未知参数，又设x1，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值试求参数 p 的矩估计量和最大似然估计量32 设总体 X 的概率密度为 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值一 05，03，一 02，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计值和最大似然估计值33 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量 并计算 34 接连不
10、断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k 2，k n，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值35 设 X 服从a，b上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量36 已知总体 X 的密度函数为 其中 ，为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量37 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中 0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量38 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为其中 0 未知现从
11、这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计39 设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2 (I)若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ； () 若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ； ()在情况( )下，检验员从该批产品中再随机检测 100 个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3 的概率考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
12、求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 (D)同时满足后面的两个条件，应选(D)【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 (A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在 ”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EXn=，DX n=2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有即 依概率收敛到零【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 C【试题解
13、析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 以 (x)为极限，故应选 (C)【知识模块】 概率论与数据统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，DY i=2l(l 2)，因此X n：n=1，2，满足切比雪夫大数定律，应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计5 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选(D)【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Xi 与 Si2 分别是取自正态总体 N(， 2)的一个容量为 n 的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知
14、，对 i=1，2，3，有因此选项(A)、(B)、(C)均不成立，应选 (D)【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 C【试题解析】 应选(C)【知识模块】 概率论与数据统计8 【正确答案】 B【试题解析】 从上题知 ES2=2，应选(B)进一步分析【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX=， 的矩估计为 =X，应选(A)若 X 服从参数为 的指数分布，则 的矩估计 对于选项(C) ，X服从参数为 的几何分布， ， 的矩估计 ；对选项(D) ，于是 的矩估计【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题10 【正确答案】 正态;【试题解析】
15、X 1+Y1，X 2+Y2，X n+Yn 相互独立同分布因EXi=DXi=， EYi=，DY i=2，故 E(Xi+Yi)=2，D(X i+Yi)=+2，当 n 充分大时，近似服从正态分布，其分布参数【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为1 于是样本 X1，X 2，X n 的概率分布为如果记 则样本 X1，X 2，X n 的概率分布为【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 服从分布 N(0，1)；2 和 n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以
16、 X1 一 X2 与 X32+X42 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有即 Y1 与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一 1【知识模块】 概率论与数据统计13 【正确答案】 服从分布 N(0， 2)；【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 X12+X102 与 X112+X152 相互独立，由于 ，因此【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 【试题解析】 依题意 XiX(0 ， 2)，Y iN(0, 2)且相互独立，所以U 与 V 相互独立，由 t 分布典型模式知【知识模块】 概率论与数据统计1
17、5 【正确答案】 【试题解析】 样本方差由 ES2=2可得【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故 EXi=DXi=，又因 X1，X n 相互独立，所以 根据独立同分布的列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 一 n 近似服从正态分布N(n，n)，因此 Sn 近似服从正态分布 N(n+n，n)【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi,i=1，1 00，可以认为X1，X 2，X
18、100 相互独立同分布，且，应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(，04 2)，于是【知识模块】 概率论与数据统计19 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X，则 X 近似服从二项分布B(500，08)由于 n=500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X 近似服从正态分布 N(400，80) ，于是有【知识模块】 概率论与数据统计20 【正确答案】 设 X 表示 1 00 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX=25，DX=1 875，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1 875)，于是【知识模块】 概率论
19、与数据统计21 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意【知识模块】 概率论与数据统计22 【正确答案】 (I)由于 XB(1，P)，故 X 的概率分布为其中，因为 Xi 取值 0 或 1，故 Xi2=Xi【知识模块】 概率论与数据统计23 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布且 与 S2 相互独立，于是【知识模块】 概率论与数据统计24 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X1N(0 ，4
20、)，X 2+X3N(0 ，8)，X4+X5+X6N(0，12)，X 7+X8+X9+X10N(0，16) 于是相互独立都服从标准正态分布 N(0，1) 由 2 分布的典型模式可知所以，当 时，Q 服从自由度为 4 的 2 分布【知识模块】 概率论与数据统计25 【正确答案】 由于 S X2，S Y2 相互独立，所以即 Y 与 也相互独立因此【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计26 【正确答案】 由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故【知识模块】 概率论与数据统计27 【正确答案】 由于总体 X 一 N(0， 2)，
21、故 EXi=0，DX i=2【知识模块】 概率论与数据统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计31 【正确答案】 矩估计 ，故的矩估计量 最大似然估计：似然函数【知识模块】 概率论与数据统计32 【正确答案】 由 f(x；，)0 和 -+(x；，)dx=1，得到 0，0 且+=1于是()求最大似然估计值 2由于在给定的 8 个样本值中，属(一 1，0)的有 5 个，属0，1)的有 3 个，故似然函数为【知识模块】 概率论与数据统计33 【正确答案】 记 EX=，DX= 2，则【知识
22、模块】 概率论与数据统计34 【正确答案】 依题意，总体 X 服从参数为 P 的几何分布，即 PX=k=p(1 一 p)k-1，k=1，2，由于 ，所以 P 的矩估计值 样本(k1，k 2，k n)的似然函数 L 为 L(k1，k 2，k n；p)=PX1=k1，X 2=k2，X n=kn【知识模块】 概率论与数据统计35 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然 且 b 一 a 越小L 值越大，但是bx i，i=1，n=bmax(x i，x n)，同理axi，i=1，a=amin(x i 一，x n)，所以只有当 b=maxxi，a=minx i时，L才达到最大值，
23、故 a，b 的最大似然估计值分别为 b=maxxi，a=minx i，从而可知其最大似然估计量分别是 a=minXi，6=maxX i【知识模块】 概率论与数据统计36 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计37 【正确答案】 设 x1,x2，,x n 是样本 X1，X n 的观测值，当xi0(i=1，2，n)时其似然函数为【知识模块】 概率论与数据统计38 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有 n一 k 只未失效” 的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 一 e-T0；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1F(T0)=e-T0由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L()=Cn(1一 e-T0)k(e-T0)n-k，这就是所求的似然函数取对数得 lnL()=lnCnk+kln(1 一 e-T0)+(n 一 k)(一 T0)，于是 A 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数据统计39 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p).【知识模块】 概率论与数据统计
