1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）AE-A=E-B.（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似2 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，
2、则事件E 等于（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0.（D）T (4)t03 设 A，B 为两个随机事件，且 P(B)0，P(A 丨 B)=1，则必有（A）P(AB)P(A).（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)4 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件（A）A 1，A 21，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立5 某人向向一目标
3、独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，p(0P 丨Y- 2 丨（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 2.9 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P丨 x- 丨（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定10 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则PX2+Y21=（A）1/4（B） 1/2（C） /8（D）/412 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y
4、 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和 Y 的相关系数等于（A）-1（B） 0（C） 1/2（D）1二、填空题13 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_.14 若 3 维列向量 满越 T=2，其 T 为 为转置，则矩阵 T 的非零特征值为_.15 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_16 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 1/2 的概率为_.17 从数
5、1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_.18 一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率 Pi=1/(i+1)(i=1，2，3)，以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 PX=2=_19 设两两相互独立的事件 A，B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B)=P （C）1/2，且已知 p(ABC)=9/16，则 P(A)=_.20 设随机变量 X 服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 y 服从参数为(3，p)的二项分布，若 P 丨 x1 丨 =5/9，则 P 丨 Y1 丨=_.三、解答
6、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+ATA，试证：当 0时，矩阵 B 为正定矩阵考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 C【试题解析】 事件T (4)t0表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；T (3)t0表示至少有两个温控器的温度不低于 t0，即 E=T(3)t0，应选(C) 【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数据统计4
7、【正确答案】 C【试题解析】 P(A 1)=1/2， P(A 2)=1/2，P(A 3)=2/4=1/2， P(A 4)=1/4 P(A1A2)=P(A4)=1/4， P(A 2A3)=P(A2A3)=1/4， P(A 1A2A3)=P()=0 计算看出 P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3) =P(A1)P(A3)，P(A 2A3) =P(A2)P(A3)，但是 P(A 1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)因此事件 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立应选(C) 进一步分析，由于事件 A2 A4，故 A2 与 A4 不独立因此不能选(B) 与(D)【知识模块】 概率
8、论与数据统计5 【正确答案】 C【试题解析】 设事件，A=“第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”，则 A 表示共射击 4次，其中前 3 次只有 1 次击中目标，且第 4 次击中目标因此 P(A)=3p 2(1-P)2 选(C)【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 D【试题解析】 若令 X=max(X1，X 2)，而 Xi-fXi(x)，i=1，2，则 X 的分布函数 F(x)恰是 FX1(x)FX2(x) F(x)=Pmax(X 1，X 2)x=PX1x，X 2x =PX1xPX2x=F1(x)F2(x)【知识模块】 概率论与数据统
9、计8 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数据统计10 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题13 【正确答案】 1【试题解析】 用定义A 1=0=01，A(2 1+2)=A2=21+2，知 A 的特征值为 1和 0A 的非 0 特特征为 1【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 2【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是
10、二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 3/4【知识模块】 概率论与数据统计17 【正确答案】 13/48【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 11/24【试题解析】 设事件 Ai=“实习生制造的第 i 个零件是合格品”，i=1，2，3，依题意，A 1，A 2，A 3 相互独立。【知识模块】 概率论与数据统计19 【正确答案】 1/4【试题解析】 由于 A、B、C 两两独立，且 P(A)=P(B)=P(C)，所以 P(AB)=P(A)P(B)=P(A)2 ，P(AC)=P(A) 2 ，P(BC)=P(A) 2 ，
11、 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3P(A)2 依题意，有 3P(A)-3P(A)2 =9/16， P(A) 2 -P(A)+3/16=0 解方程，得 P(A)=1/4 或/3/4.【知识模块】 概率论与数据统计20 【正确答案】 19/27【试题解析】 px1=1-PX=0=1-(1-p) 2 解方程 1- （1-p ） 2=5/9 得 1-p=2/3，P=1/3 PY1PY=0=1-（1-p ） 3 =1-(2/3)3 =19/27【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 因为 BT=(B+ATA)T=E+ATA=B，所以 B 是 n 阶实对称矩阵构造二次型 xTBx， 那么 x TBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax) Vx0，恒有 xTx0，(Ax) T(Ax)0 因此 当 0 时， Vx0，有 xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0 二次型为正定二次型，故 B 为正定矩阵【知识模块】 概率论与数据统计
