1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与事件 B 互不相容，则2 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是3 已知 01+A2)B=P(A1 丨 B)+P(A2 丨 B)，则下列选项成立的是4 设随机变量 X 的分布函数 则 PX=1=（A）0（B） 1/2（C） 1/2-e-1 （D）1-e -1 5 设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1
2、(x).（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x).6 设 f1(x)为标准正态分布的概率密度 f2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4.（C） a+b=1（D）a+b=27 设随机变量 Xi ，满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于（A）0（B） 1/4（C） 1/2（D）1二、填空题8 设 A，B 是任意两个随机事件，则=_.9 随机地向半圆 (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 /4 的概率为_
3、.10 设 A，B，C 是随机事件， A 与 C 互不相容，P(AB)=1/2 ，P(C)=1/3，则=_.11 设随机变量 X 的概率密度为 若k 使得 PXk=2/3，则 k 的取值范围是_.12 设随机变量 X 服从参数为 A 的指数分布，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q.13 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中
4、先后抽出两份14 求先抽取的一份是女生表的概率 p；15 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q16 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1；Px=-1=1/8；Px=1=1/4 ；在事件-1x=e-x(x0) =PX1/=e-.1/=e-1【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 一枚色于接连掷两次，其样本空间中样本点总数为 36.设事件A1=“方程有实根”，A 2=“方程有重根 ”，则 A1=B2-4C0=CB2/4)用列举法求有利于 Ai 的样本点个数(i=1，2)。具体做法见下表：p=P(A1)=（1+2+4+
5、6+6 ）/36=19/36;q=P(A2)=（1+1）/36=1/18.【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 记事件 Bi=“第 j 次抽到的报名表是女生表”(j=1，2)，A i=“报名表是第 i 个地区的”(i=1 ，2，3)易见，A 1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，且 P(Ai)=1/3(i=1，2， 3)，P(B 1 丨 A2)=3/10，P(B 1 丨 A2)=7/15，P(B 1 丨 A3)=5/25p=P(B 1)=【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 易见当 x【知
6、识模块】 概率论与数据统计17 【正确答案】 易见 X 服从二项分布 B(3，2/5)其概率分布为【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 设 X 的分布参数为 ，由于 EX=1/=5，可知 =1/5易见Y=minX，2.当 y-y/4.Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数据统计19 【正确答案】 易见，当 x8 时，F(x)=1 对于 x1，8，有设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数显然，当 y0 时，G(y)=0；当 y1 时，G(y)=1对于 y(0，1)，有=PX(y+1)3=F(y+1)3=y于是，Y=F(X)的分布函数为【知识模块】 概率论与数据统计20 【正
7、确答案】 要证明 y=1-e-2X 在区间(0 ，1)上服从均匀分布，只需证明随机变量Y 的概率密度 fY(y)= 或证明 y 的分布雨数为 FY(y)= 方法一：y=1-e -2x 是(0，+)上的单调函数且其反函数为 x=h(y)=-1/2ln(1-y)在区间(0，1)上 应用单调函数公式法，Y 的概率密度为 fY(y)=计算可知 fY(y)恰是(0 ，1)上均匀分布的密度函数方法二：用分布函数法求 Y 的分布函数当 y0 时，F Y(y)=0；当y1 时，F Y(y)=1；当 00，F Y(y)=Pyy =P1-e-2Xy =PX-1/2ln(1-y) =FX-1/2ln(1-y) =1-e-2-1/2ln(1-y) =y计算可知 Y 的分布函数为 FY(y)= 所以fY(y)恰是(0，1)上均匀分布的密度函数【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计21 【正确答案】 由图 可知(U，V) 的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)与(1，1) 将上面计算及关于U，V，的边缘分布列于下表【知识模块】 概率论与数据统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计
