1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 104 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，A=（ 1， 2， 3， 1），B=（ 3， 1， 2， 2），且|A|=1，|B|=2 ，则|A+B|=（ ）（A）9（B） 6（C） 3（D）12 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2=E，则（E+BA 1） 1=（ ）（A）（A+B ）B（B） E+AB1（C） A（A+B）（D）（A+B ）A3 已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r（A *）=1，则 a=（ ）（A）3（B） 2（C） 1（D）1 或 34
2、假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=r n，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示5 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2 一4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3。则 r（ 1， 2， 3， 4， 5）=（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）46 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一2， 1+2 一 23， （ 2 一
3、1）， 1 一 32+23 中，是方程组 Ax=0 解向量的共有（ ）（A）4（B） 3（C） 2（D）17 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ）（A）k 11+k2（ 1+2）+（B） k11+k2（ 12）+（C） k11+k2（ 1+2）+（D）k 11+k2（ 1 一 2）+8 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是（ ）（A） 1|A|n（B） 1|A|（C） |A|（D）A|A| n9
4、设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA ； A2 B2； A 2B T； A 1B 1。 正确的个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）410 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）二、填空题11 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则=_。12 设 ，B=（E+A） 1（EA），则（E+B） 1=_。13 设矩阵 则 A3 的秩为_ 。14 与 1=（1，2，3，一 1） T， 2=（0，1，1，2） T， 3=（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是_。15 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 Ax
5、=0的两个线性无关的解，则 r（A *）=_ 。16 已知 =12 是 的特征值，则 a=_。17 设矩阵 A 与 B= 相似，则 r（A）+r（A 一 2E）=_。18 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy，其中 B= 则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 计算 D2n= ，其中未写出的元素都是 0。20 设 求 An。21 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，证明：（A *） T=（A T） *。22 已知 r（ 1， 2， 3）=2，r（ 2， 3， 4）=3，证明： （） 1 能由
6、 2， 3 线性表示； （） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。23 已知方程组 有解，证明：方程组无解。24 已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c ），a，b ，c 不全为零，矩阵（k 为常数），且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。25 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c的值。26 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=一 1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为 p1=（ 1，2，2） T，p 2=（2
7、，1，一 2） T，求 A。28 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn（x n+yn=1）。（）求关系式中的矩阵 A；（）设目前农村人口与城镇人口相等，即29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x TAx 在正交变换 x=Q），下的标准形为 y12+y22，且Q 的第三列为 （）求 A；（）证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 104 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+B=（ 1+3， 2+1， 3+2， 1+2），结合行列式的性质有 |A+B|=| 1+3， 2+1， 3+2， 1+2| =|2（ 1+2+3），2+1， 3+2， 1+2| =2|1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2| =2|1+2+3，一 3，一1， 1+2| =2|1，一 3，一 1， 1+2 | =2|2，一 3，一 1， 1+2| =2|1， 2， 3， 1+2| =2（|A|+|B|）=6。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 （E+BA 1） 1=（AA 1+BA1）
9、1=（A+B ）A 11 =（A 1） 1（A+B） 1=A（A+B）， 所以应选 C。 注意，由（A+B） 2=E，即（A+B）（A+B）=E，按可逆矩阵的定义知（A+B） 1=（ A+B）。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 伴随矩阵秩的公式为 可见 r（A *）r（A）=3。对矩阵 A 作初等变换，有所以 a=1 或 3时，均有 r（ A*）=1 。因此应选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。【知
10、识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有（ 1， 2， 3， 4， 5）=（ 1， 2， 3， 4） （ 1， 2， 3， 4）C 。因四个四维向量 1， 2， 3， 4 线性无关，故| 1， 2， 3， 4|0，即 A=（ 1， 2， 3， 4）是可逆矩阵。A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r（C）=r（AC）=r（ 1， 2， 3， 4， 5），而故知 r（ 1， 2， 3， 4， 5）=r（C）=3，因此应选 C。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b（ i=1，2，3）有 A（ 1 一 2）=A 1A2
11、=b 一b=0，A（ 1+223）=A 1+A22A3=b+b 一 2b=0，A（ 132+23）=A 13A2+2A3=b 一 3b+2b=0，即 1 一 2， 1+2 一 23， （ 2 一 1）， 1 一32+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。对于选项D，虽然 12 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D也不正确，所以应选 B。事实上，对于选项 B，由于 1， 1 一 2 与 1， 2
12、等价（显然它们能够互相线性表示），故 1， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x（x0）是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A*，结合 A*A=|A|E 得 A*Ax=A*（x），即 |A|x=A *x，从而 A *x= 可见 A*有特征值 =1|A|。所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B，于是 P 1A2P=B2，P TAT
13、（P T） 1=BT，P 1A1P=B1， 故 A 2B 2，A TB T，A 1B1。 又由于 A 可逆，可知 A1（AB）A=BA，即 ABBA 。故正确的命题有四个，所以选 D。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0。在选项 D 中，由于 a33=0，易知f（0， 0，1）=0，与 x0，x TAx0 相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 在选项 B 中，三阶主子式 3=|A|=一 1。因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵。故选 C。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】
14、【试题解析】 根据拉普拉斯展开式 D=（一 1） 33|A|【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 B+E=（ E+A） 1EA）+E= （E+A ） 1（EA ）+（E+A） 1（E+A）=（E+A ） 1（EA）+（E+A）=2（E+A） 1，可得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r（A 3）=1 。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 设 =（x 1，x 2，x 3，x 4） T 与 1， 2， 3 均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是（一 1，一 1，1，0） T
15、，将这个向量单位化得 （1，1，一 1，0） T，即为所求向量。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr（A ）2 ，即 r（A ）3。又因为 A 是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 Aij 恒为零，即 A*=D，所以 r（A *）=0。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12是 A 的特征值，因此|12EA|=0，即所以 a=4。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与
16、B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r （A）+r（A 一 2E）=r（B）+r（ B 一 2E）=2+1=3。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 2【试题解析】 合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=xTAx 的正、负惯性指数均为 1 可知，矩阵 B 的秩 r（B） =2，从而有|B|=一（a 一 1）2（a+2 ）=0 。若 a=1，则 r（B）=1 ，不合题意，舍去。若 a=一 2，则由得 B 的特征值为 0，3，一3，此时正、负惯性指数均为 1。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17、骤。19 【正确答案】 该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。将以上两个行列式分别按最后一行展开，得=andnD2n2bncnD2n2。由此得递推公式 D2n=（a ndn 一 bncn）D 2n2。按递推公式逐层代入得 D2n= （a idi 一 bici）D 2，而 D2= =a1d1 一 b1c1，因此原行列式D2n= （a idi 一 bici）。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 把矩阵 A 作如下拆分：An=（AE+B） n=Cn0（AE） nB0+Cn1（AE） n1B+Cn2（AE） n2B2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因
18、为 A 可逆，所以|A|=|A T|，且 AA1=E。 在 AA1=E 两边同时取转置可得（A 1） TAT=E，即（A T） 1=（A 1） T，所以 （A *） T=（|A|A 1）T=|A|（A 1） T=|AT|（A T） 1=（A T） *。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 （）r（ 1， 2， 3）=23 1， 2， 3 线性相关；假设 1 不能由 2， 3 线性表示，则 2， 3 线性相关。而由 r（ 2， 3， 4）=3 2， 3， 4 线性无关 2， 3 线性无关，与假设矛盾。综上所述， 1 必能由 2， 3 线性表示。（）由（）的结论， 1 可由 2， 3 线性表示
19、，则若 4 能由 1， 2， 3 线性表示 4 能由 2， 3 线性表示，即 r（ 2， 3， 4） 3 与 r（ 2， 3， 4）=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 用 A1， 和 A2， 分别表示方程组（1）与（2）的系数矩阵和增广矩阵，则 =A2T。已知方程组（1）有解，故 r（A 1）= 。又由于（b 1，b 2，b m，1）不能由（ a11，a 21，a m1，0），（a 12，a 22，a m2，0），（a 1n，a 2n，a mn，0）线性表示，所以所以方程组（2）无解。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AB
20、=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r（A ）+r （B）3。（1）若 k9，则 r（B）=2，于是 r（A）1，显然，r（A ）1，故 r（A ）=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r（A）=2 ，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k1（ 1，2， 3） T+k2（3，6，k） T，k 1，k 2 为任意常数。（2）若 k=9，则 r（B）=1，从而 1r（A）2。若 r（A）=2，则 Ax=0 的通解为：x=k 1（1，2，3）T， k1 为任意常数。若 r（A）=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax
21、 1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为 x=k1。（ ，1，0） T+k2（ ，0，1） T，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为方程组（2）中“方程个数未知数个数” ，所以方程组（2）必有非零解。于是方程组（1）必有非零解，则（1）的系数行列式为 0，即对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有则方程组（1）的通解是 k（一 1，一1，1） T。因为（一 1，一 1，1） T 是方程组（2）的解，所以=1，c=2 或 b=0，c=1。当 b=1，c=2 时，方程组（2）为其通解是 k（一 1，一 1，1） T，所以方程组（1）与（2）同解。当
22、b=0，c=1 时，方程组（2）为 由于方程组（2）的系数矩阵的秩为 1，而方程组（1）的系数矩阵的秩为 2，故方程组（1）与（2）不同解，则b=0，c=1 应舍去。综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组（1）与（2）同解。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A（ 1+2+3）=A（ 1+2+3）。 又 A（ 1+2+3）=A 1+A2+A3=11+222+333，于是有 （A 1） 1+（ 2） 2+（ 3） 3=0。 因为 1， 2， 3 线性无关，故 一1=0， 一 2=0， 3=0，即 1=2=3。【知识模块】 线性代数2
23、7 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=（q 1，q 2，q 3），使QTAQ=Q1AQ= 将对应于特征值 1， 2 的特征向量 p1=单位化，得 由正交矩阵的性质，q 3 可取为 的单位解向量，则由【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由题意，人口迁移的规律不变 xn+1=xn+qyn 一 pxn=（1p）xn+gyn，y n+1=yn+pxn 一 qyn=pxn+（1 一 q）y n，用矩阵表示为得 A的特征值为 1=1， 2=r，其中 r=1 一 Pq。当 1=1 时，解方程（A E）x=0，得特征向量 p1= 当 2=r 时，解方程（A 一 rE）x=0
24、，得特征向量 p2= 令P=（p 1，p 2）= 则 P1AP= =A，A=PP 1，A n=PP1。于是【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）由题意知 QTAQ=，其中 = 则 A=QQT，设Q 的其他任一列向量为（x 1，x 2，x 3） T。因为 Q 为正交矩阵，所以（x 1，x 2，x 3）即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1=（一1，0，1） T， 2=（0，1，0） T。把 1 单位化得 1= （一 1，0，1） T，所以（）证明：因为（A+E） T=AT+E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵。又因为 A 的特征值为1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
