1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 117 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）ABAB（B）若 AB0，则 AO 或 BO（C） AB A B（D）ABAB2 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn1 A*（D）k n(n1) A*3 设 P，Q 为三阶非零矩阵，且 PQO，则( )（A）当 t6 时，r(Q) 1（B）当 t6 时，r(Q)2（C）当 t6 时，(Q)1（D）当 t6 时，r(Q)24 向量组 1， 2， m 线
2、性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 1， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A( 1， 2， ， m)，方程组 AX0 只有零解（D） 1， 1， m 中向量的个数小于向量的维数5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组似 AXb 有两个不同解，12，则下列命题正确的是( )（A）AXb 的通解为 k11k 22（B） 1 2 为 AXb 的解（C）方程组 AX0 的通解为 k(1 2)（D）AXb 的通解为 k11k 22 (1 2)6 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似
3、于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQB（C） r(A) r(B)（D）以上都不对7 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题8 设 D 则 A31A 32A 33_9 设矩阵 A，B 满足 A*BA2BA8E，且 A ，则 B_10 设 A ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 ABO ，则a_， b_11 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1 1 2，A 2 2 3，A 3 3 1，则A_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算 (ai0，i1，2，n)13 设矩阵
4、 A 满足(2E C 1 B)ATC，且，求矩阵 A14 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n1证明：存在常数 k，使得(A *)2kA *15 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是16 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明 1， 2 线性相关17 设( ) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 1 ，r(B)2(1)求方程组()的基础解系；(2)求方程组()BX0 的基础解系。(3)(I)与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解18 设
5、 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0与 ABX0 是同解方程组19 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足，r(A)r rn证明：方程组 AXb 的线性无关的解向量的个数最多是 nr1 个20 设 A 相似于对角阵求：(1)a 及可逆阵 P，使得 P1 APA，其中A 为对角阵； (2)A 10021 设矩阵 A 为 A*对应的特征向量(1)求 a，b及 对应的 A*的特征值；(2)判断 A 可否对角化22 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1 2 3，A 2 1 3，A 3 1 2
6、 (1)求矩阵 A 的特征值； (2) 判断矩阵A 可否对角化23 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 22 是A 的特征值， 对应特征向量为(1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A24 ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得P1 APB 25 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 117 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(C) 显然不对，设 A 显然 A，B 都是非零矩阵，但 ABO，所以AB0，(B
7、)不对，选 (D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) * k n1 A*，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQO 得 r(P)r(Q)3，当 t6时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对， 故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2
8、， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维 数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AXb 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A) n1， 2 1 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 令 A ，显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以(A) ，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都
9、是实对称矩阵，由EA0，得 A 的特征值为11， 22， 39， 由EB 0，得 B 的特征值为 11， 2 23，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值 不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 A 31A 32A 33A 31A 32A 330A 340A 35【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA2BA8E，得 AA*BA2ABA8A ，即2BA2ABA8A于是2B2AB8E ，(A E)B4E，所以 B4(A E)1 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a 2， b1【试题解析】 A ，
10、因为 ABO ，所以 r(A)r(B)3 ，又B0，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a2，b 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 令 P( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP(A 1，A 2，A 3)( 1， 2， 3)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 a 1a2an1 a n(a1a2an2 a n1 Dn2 )a 1a2a1a2an2 ana nan1 Dn2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由(2E C1 B)ATC 1 ，得 AT(2EC 1 B)1
11、C1 C(2EC 1 B)1 (2CB) 1 ，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 r(A)n1，所以 r(A*)1，于是 A*【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 A( 1， 2， n)，A TA r(A)r(A TA)，向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)n，即 r(ATA)n 或A TA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令 A 因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以A10，A 20，即 1， 2 为方程组 AX0 的两个非零解，因为 r(A)n1，所以方程组 AX0 的基础解系含
12、有一个线性无关的解向量所以 1， 2 相关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)方程组(I) 的基础解系为 1 ；(2)因为 r(B)2，所以方程组() 的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 1为方程组()的基础解系；(3)方程组(I) 的通解为k11k 22 ，方程组()的通解为 ，k 2k 2，取 k2k，则方程组(I)与方程组( )的公共解为 k(1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 首先，方程组 BX0 的解一定是方程组 ABX0 的解令 r(B)r 且 1， 2， nr ，是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0
13、 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线性无关，若 1， 2， nr ， 0 线性相关，则存在 不全为零的常数k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11k 22k nr nr k 000， 若 k00，则k11k 22k nr nr 0，因为 1， 2， nr 线性无关， 所以k1k 2k nr 0，从而 1， 2， nr ， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由1， 2， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B00，矛盾，所以1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方程组 ABX0 的解，从而 nr(AB)nr1，r(AB)r
14、 1，这 与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组 BX0 与 ABX0 同解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)r n，所以齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有nr 个线性无 关的解向量，设为 1， 2， n r 设 0 为方程组 AXb 的一个特解， 令 0 0， 1 1 0， 2 2 0， nr nr 0，显然0， 1， 2， nr 为方程 组 AXb 的一组解 令k00k 11k nr nr 0，即 (k 0k 1k nr )0k 11k 22k nr nr 0， 上式两边左乘 A 得(k 0k 1k nr )b0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0k 1k nr
15、0，于是 k11k 22k nr nr 0， 注意到 1， 2， nr 线性无关，所以k1k 2k nr 0， 故 0， 1， 2， nr 线性无关，即方程组 AXb 存在由 nr1 个线性无关的解向量构 成的向量组设 1， 2， nr2 为方程组AXb 的一组线性无关解， 令 1 2 1， 2 3 1， nr1 nr2 1，根据定义，易证 1， 2， nr1 线性 无关，又 1， 2， nr1 为齐次线性方程组 AX0 的一组解，即方程组 AX0 含有 nr1 个线性无关的解，矛盾，所以 AXb 的任意 nr2 个解向量都是线性相关的，所以 AXb 的线性无关的解向量的个数最多为 nr1 个
16、【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)EA0 1 21， 31因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)1 (EA)X0 基础解系为1(0，1，0) T， 2(1 ，0，1) T，(EA)X0 基础解系为 3(1，2，1) T，令P( 1， 2， 3)，则 P1 APdiag(1，1，1)(2)P 1 A100PE A100PP 1 E 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A 1，则有A 12，设 A的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2 32 对应的 A*的特征值为 4(2)2EA ，因为 r(2EA)2，所以 2 32 只有一个线性
17、无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 30， 由A(1 2 3)2( 1 2 3)，得 A 的一个特征值为 12； 又由 A(1 2)( 1 1)，A( 2 3)( 2 3)， 得 A 的另一个特征值为 21因 为1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 21 为矩阵 A的二重 特征值，即 A 的特征值为 2，1，1 (2)因为 1 2， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定 可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 A
18、的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 25，对应的特征向量为 又因为 AX0 有非零解，所以 r(A)3，从而A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由E B0，得 11， 21， 32，因为 AB，所以A 的特征值为 11， 21， 32由 tr(A) 1 2 3，得 a1，再由Ab 1232，得 b2， 由(E A)X0，得 1(1，1，0) T；由(E A)X0，得 2(2，1，1) T；由(2EA)X0，得 3(2，1，0) T 由(EB)X 0，得 1(1，0，1) T；由(EB)X0，得 2(1，0，0) T；由(2EB)X0 ，得 3(8，3，4) T，由 P11 AP1P 21 BP2，得(P 1P21 )AP1P21 B ，令 PP 1P21 ，则P1 APB 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 ATA，B TB，从而(A B) TA B，即 AB 为对称矩阵 对任意的 X0，X T(AB)X X TAXX TBX，因为 A，B为正定矩阵，所以 XTAX0， X TBX0，因此 XT(AB)X0，于是 AB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
