1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 120 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 )1 等于( )（A）AB（B） A1 B 1（C） A(AB) 1 B（D）(AB) 12 设则 m，n 可取( ) （A）m3，n2（B） m3，n5（C） m2，n3（D）m2，n23 设 A( 1， 2， m)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有 k11k 22k mm0，则( )（A）mn（B） mn（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP（D
2、）若 ABO，则 BO4 设 1， 2， ， M 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)r( 1， 2， s)r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)r（C）若向量组 1， 1， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（A）r(A)m（B） r(A) n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示6 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A
3、 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题7 设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * _8 设 A ，BO 为三阶矩阵，且 BAO，则 r(B)_9 设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 2 ， 3 其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P(2 3,3 1， 2)，则 P1 (A1 2E)P_10 设 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A(a ij)nm
4、 是非零矩阵，且A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A012 设 AE T ，其中 为 n 维非零列向量证明： (1)A2A 的充分必要条件是 为单位向量； (2)当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵13 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *) ，其中 n214 设向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组(I)与向量组()的秩为 3，而向量组() 的秩为 4证明：向量组 1， 2， 3， 5 4的秩为 415 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关16 a，b 取何值时
5、，方程组 有解?17 证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组()是同解方程组18 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)19 当 a,b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解20 设 A 方程组 AXB 有解但不唯一(1) 求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵；(3) 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵21 设 A 的一个特征值为 12，其对应的特征向量为1 (1)求常数 a，b，c；(2) 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得 P1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由22 设 A 有三个线性无关的特征向
6、量，求 a 及 An23 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若 A1 2，A 2 3， An1 n，A n0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关；(2)求 A 的特征值与特征向量 24 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵25 设齐次线性方程组 ，有非零解，且 A为正定矩阵，求 a，并求当X 时 XTAX 的最大值考研数学三（线性代数）模拟试卷 120 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A(AB) 1 B(A1 B 1 )(A B)A 1 1
7、(BA1 E)(BA 1 E)1 (BA1 E) E，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3两列对调，P 1 E 13，且Eij2E，P 1mAP2nP 1AP2，则 m3，n5，选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11 k22 k mm0，所以向量组 1， 2， ， m 线性无关，即方程组AX0 只有零解，故若 ABO，则 BO，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m
8、 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的 极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r， 也可由1， 2， r，线性表示，若 1， 2， r，不可由 1， 2， r，线性表示，则 1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AXb 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组AXb 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)n，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D
9、【试题解析】 (A) 不对，如 A ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如A ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ；因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP，于是 r(A) ，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 k n(n1) an 1【试题解析】 因为(kA) *k n1 A*，且A *A n1 ，所以 (kA)*k n1 A*k n(n1) A n1 k n(n1) an1 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1【试题解析】 BAO r(A)r(B)3
10、，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 P 1 (A1 2E)P 1 A1 P2E ，而 P1 A1 P ，所以 P1 (A1 2E)P【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 由EA0 得 A 的特征值为 12， 2 36因为 A 有三个线性无关的特 征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1
11、Ak1a k2Ak2a knAakna k12a k22a kn20【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)令 Tk，则 A2(E T)(E T)E 2 Tk T，因为 为非零 向量，所以 TO，于是 A2A 的充分必要条件是 k1，而T 2，所以 A2A 的充要条件是 为单位向量 (2)当 是单位向量时，由 A2A 得 r(A)r(EA)n，因为 EA TO，所以 r(E A)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AA *A *AAE 当 r(A)n 时，A 0，因为A *A n1 ，所以A *0，从而 r(A*)n； 当 r(A)n
12、1 时，由于 A至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 A ij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为 A0，所以 AA*AEO ，根据矩 阵秩的性质有 r(A)r(A *)n，而 r(A)n1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)1； 当 r(A)n1 时，由于A 的所有 n1 阶子式都为零，所以 A*O，故 r(A*)0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为向量组(I)的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示 因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关
13、，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 4 线性无关，于 是向量组 1， 2， 3， 5 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 l0l 1Al k1 Ak1 0(*)(*)两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 0，因 为 Ak1 0，所以 l00；(*)两边同时左乘 Ak2 得 l1Ak1 0，因为Ak1 0，所以 l1 0，依次类推可得 l2l k 10，所以 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)s1时，r(A) 4，唯一解为x1 ，x 40；(
14、2)a1，b1 时，r(A)，因此方程组无解；(3)a1，b1 时，通解为 Xk 1(1，2，1，0)T k2(1，2 ，0，1) T(1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 A，方程组(I)可写为 AXb，方程组( )、()可分别写为 ATY0 及 若方程组(I)有解，则 r(A)r(A B)，从而 r(AT)r 又因为()的解一定为()的解，所以( )与()同解；反之，若 ()与()同解，则 r(AT)r ，从而 r(A)r(A b)，故方程组(I)有解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 r(B)r，BX0 的基础解系含有 n
15、r 个线性无关的解向量， 因为 BX0 的解一定是 ABX0 的解，所以 ABX0 的基础解系所含的线性无关的解 向量的个数不少于 BX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B) ，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)Tr(AB)r(B TA*)r(A*)r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)当 a 1 且 a6 时，方程组有唯一解；(2) 当 a6 时，当a1，b36 时，方程组无解；当 a1，b36 时，方程组有无数个解，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)因为方程组 AX 有解但不唯
16、一，所以 A0，从而a2 或 a1当 a2 时，23，方程组有无穷多解；当 a 1 时，方程组无解，故a2(2)由EA(3)(3)0 得 10， 23， 33由(0EA)X0 得 10 对应的线性无关的特征向量为 1 ；由(3E A)X0 得23 对应的线性无关的特征向量为 2 由(3EA)X0 得 33 对应的线性无关的特征向量为 3 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)由 A12 1，得 (2)由EA 0，得 1 22， 31由(2EA)X0，得 由(EA)X0，得 3 显然 A 可对角化，令 P 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由E A 0，得1 21， 32 因为
17、矩阵 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)1，即 a1，故 A 由 1 时，由(EA)X0，得 1 由2 时，由(2EA)X0，得 3 令 P( 1， 2， 3)，两边 n 次幂得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)令 x11x 22x nn0，则x1A1x 2A2x nAn 0 x12x 23x n1 n0x 1A2x 2A3x n1 An0 x13x 24x n2 n0x 1n0 因为 n0，所以 x10，反推可得x2x n0，所以 1， 2， n 线性无关(2)A( 1， 2， n)( 1， 2， n) ，令 P 1， 2， n，则P1 AP
18、B，则 A 与 B 相似，由EB0 n n0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)n1，所以AX0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An0 n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 首先 ATA，因为(P TAP)TP TAT(PT)TP TAP，所以 P TAP 为对称矩阵，对任意 的 X0，X T(PTAP)X(PX) TA(PX)，令 PX ，因为 P 可逆且X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故XT(PTAP)X 为正定二次型，于是 P TAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 a(a1)(a3)0，即 a 1 或 a0 或 a3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i1，2，3)，所以 a3当 a3 时，由 EA (1)(4)(10) 0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 fX TAX y124y 2210y 3210(y12y 22y 32)所以当X 时，X TAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1y 20，y 3 )【知识模块】 线性代数
