1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 124 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+
2、3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（
3、D） 1， 2， m， 1+2 线性无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(m1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3
4、，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组 (I)： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）(I)，( )都线性相关（B） (I)线性相关（C） ()线性相关（D）(I)，( )至少有一个线性相关8 设向量组(I)： 1， 2， s 的秩为 r1，向量组( )： 1， 2， s 的秩为 r2，且向量组()可由向量组(I)线性表示，则( )（A） 1+1， 2
5、+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r19 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必
6、有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合二、填空题11 设 线性相关，则 a=_12 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+2 一 3， 2+3 线性相关，则 =_13 设 且 ， 两两正交，则a=_，b=_14 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22 一 F 33， 1+42+93线性无关16 设 1， m， 为
7、 m+1 个 n 维向量，= 1+ m(m1)证明：若1， ， m 线性无关，则 一 1， 一 m 线性无关17 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n+1 线性无关18 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关19 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关20 n 维列向量组 1， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1， n-1， 线性无关21 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立22 设 A 为 nm 矩阵，B
8、为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关23 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 y 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示24 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t25 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量26 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关考研数学三（线性代数）模拟试卷 124 答案与解析一、选择题
9、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为一( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一1)=0， 所以 12， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关； 因为( 1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0
10、， 所以 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法 得 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； (B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k 11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证 1， 2， m线性
11、无关； (C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m-1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示
12、，所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析
13、】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n， 于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， n)1， 2， ， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s，与向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，
14、反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为|A|=0，所以 r(A)n ，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是从而【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 ( 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3)=(1， 2， 3) 因为 1， 2，
15、3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3 线性相关，所以即 解得 a=5【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 ， 正交，所以 解得 a=一4，b=一 13【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解， 所以 1+2+2334=0，故 2=一 123+34【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 方法一 令 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，即 (k1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0， 因
16、为 1， 2， 3 线性无关，所以有而 由克拉默法则得k1=k2=k3=0， 所以 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关 方法二 令A=(1， 2， 3)，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)， 则 因为可逆，所以 r(B)=r(A)=3， 故 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令 k1( 一 1)+km( 一 m)=0，即 k1(2+3+ m)+km(1+2+ m-1)=0 或 (k 2+k3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km-1)m=0， 因为 1， m 线性无关，所
17、以 因为所以 k1=km=0，故 一 1， 一 m 线性无关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0， 因为 1， 2， n 线性无关，所以有该方程组系数行列式 D n=1+(一 1)n+1，n 为奇数1+2， 2+3， n+1 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方法一 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组x11+xnn=0 有非零解， 因为方程组 x11+xnn=0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 m11+
18、xnn=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组1， ， n 线性相关 方法二 令 A=(1， n)，r(A)min(m，n)=m 1， n 的秩不超过 m，于是向量组 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11+krr=0，于是k11+krr+0r+1+0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 k0+k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 与非零向量 正交及(， k0+k11+k
19、n-1n-1)=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)=|20，于是 k0=0，故 k11+kn-1n-1=0，由 1， n-1 线性无关得 k1=n-1=0，于是 1， n-1， 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(1， 1)=0，而( 1， 1)=|1|20，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0， 故1， ， n 线性无关令 显然 1， 2 线性无关，但 1， 2 不正交【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 首先 r(B)minm，n)=n，由 AB=E 得 r(A
20、B)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是| 1， 2， 3|=0， 而所以 t=一 1 或者 t=一 5， 因为任意两个向量线性无关，所以 t=一 5【知识模块】
21、线性代数25 【正确答案】 方法一 令 因为 1， 2， n 与 正交，所以 A=0，即 为方程 AX=0 的解，而 1， 2， 2 线性无关，所以 r(A)=n，从而方程组AX=0 只有零解，即 =0 方法二 ( 反证法)不妨设 0，令k11+k22+knn+k0=0，上式两边左乘 T 得 k 1T1+k2T2+knTn+k0T=0 因为 1， 2， ， n 与 正交，所以 k0T=0，即 k0|2=0，从而 k0=0，于是k11+k22 +knn=0，再由 1， 2， n 线性无关，得 k1=k2=kn=0，故1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0； 由 A2=1+2 得(AE) 2=1；由A3=2+3 得(A E)3=2， 令 k 11+k22+k33=0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 AE 得 k31=0，因为 10，所以 k=30，代入(2)，(1)得 k1=0，k 2=0， 故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数
