1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 12， 23， 34， 41 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 41 线性无关（D） 1+2， 2+3， 34， 41 线性无关3
2、向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11，k 22，k mm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m1， 1 线性相关（B） 1， 2， m1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性无关5
3、设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2
4、 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组()线性相关，则 ( )（A）(I)，( )都线性相关（B） (I)线性相关（C） (II)线性相关（D）(I)，(II)至少有一个线性相关8 设向量组(I)： 1， 2， s 的秩为 r，向量组()： 1， 2， s 的秩为r。，且向量组( )可由向量组(I) 线性表示，则( )（A） 1+1， 2+2， s+
5、s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1+r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r29 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关二、填空题10 设 线性相关，则 a=_11 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+23， 2+3
6、线性相关，则 a=12 设 ，且 ， 两两正交，则a=_，b=_13 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关15 设 1， m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，则 一 1， 一 m 线性无关16 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n，
7、1 线性无关17 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关18 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关19 n 维列向量组 1， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明：1， ， n1， 线性无关20 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立21 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关22 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2，
8、 n 线性表示23 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t24 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量25 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关考研数学三（线性代数）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以口。可由 2， 3 线性表示，选 A
9、【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为一( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 12)+(23)一( 34)+(41)=0， 所以 12， 23， 34， 41 线性相关； 因为( 1+2)+(2+3)一( 34)+(41)=0， 所以 1+2， 2+3， 34， 41 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 41 线性无关，选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m
10、线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； (B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证 1， 2， m线性无关； (C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 线性无关，但其维数等于其个数，选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m1 线性表示，所以 1， 2
11、， m1， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m1， 1 线性表示，所以 1， 2， m1， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性表示，所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m，几线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D【知识模块】 线性
12、代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选 A【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关； 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n， 于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， n)n， 故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因
13、为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选D【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=【知识模块】
14、线性代数11 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2 1+23， 2+3)=(1， 2， 3) ，因为1， 2， 3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+23， 2+3 线性相关，所以=0，解得 a=5【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 1；13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 ，解得 a=一 4，b=一 13【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2=一 1 一 22+34【试题解析】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解， 所以 1+2+2334=0，故2=一 1 一 22+34【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、。14 【正确答案】 令 k1(1+2+3)+k1(1+22+33)+k1(1+42+93)=0，即 (k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)1+(k1+3k2+9k3)1=0，所以 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 k1( 一 1)+km( 一 m)=0，即 k1(2+3+ m)+km(1+2+ m1)=0 或(k 2+k3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km1)m=0，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设有 x1，x 2， n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(
16、x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn1+xn)n=0，【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组x11+xnn=O 有非零解， 因为方程组 x11+xnn=0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方程组 x11+xnn=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 1， n=0，于是k11+krr+0r+1+0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以1，
17、 ， n 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 ko+k11+kn1n1=0，由 1， n1 与非零向量 正交及( ， k0， 1+k11+kn1n1)=0 得 k(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 20，于是 k0=0，故 k11+kn1n1=0，由 1， n1 线性无关得k1=kn1=0，于是 1， n1， 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及(1， 1，k 11+knn)=0，得 k1， 1(1， 1)=0，而( 1， 1)= 20，于是k1=0，同理可证 k2=kn=0， 故 1， n 线性无关令 ，
18、显然 1， 1 线性无关，但 1， 1 不正交【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 首先 r(B)min(m，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线
19、性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=0，而 1， 2， 3= (t+1)(t+5)，所以 t=一 1 或者 t=一 5， 因为任意两个向量线性无关，所以 t=一 5【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A= ，因为 1， 2， n 与 正交，所以 A=0，即 为方程组 AX=0 的解，而 1， 2， n 线性无关，所以 r(A)=n，从而方程组 AX=0只有零解，即 =0 k 1T1+k2T2+knTn+k0T=0 因为 1， 2， n 与 正交，所以 k0T=0，即 k0 =0，从而 k0=0，于是 k11+k22+knn=0，再由1， 2， n 线性无关，得 k1=k2=kn=0，故 1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0； 由 A2=1+2 得(AE) 2=1；由A3=2+3 得(A E)3=2， 令 k 11+k22+k33=0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21+k32=0， (2) (2) 两边左乘 AE 得 k31=0，因为 10，所以 k3=0，代入式(2)、式(1)得 k1=0， k2=0，故 1， 2， 3 线性无关 【知识模块】 线性代数
