1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 135 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出3 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，
2、则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关4 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1 一 2，一 3（C）一 1+2， 2+3， 3 一 1（D） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 15 设向量组： 1， 2， r 可由向
3、量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关6 若 r(1， 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r7 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s1+s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线
4、性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相荧，那么 s 可由 1， 2， s1 线性表出8 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组 Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式A TA=0二、填空题9 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则 a=_10 已知 1=(a，a，a) T， 2=(一
5、 a，a，b) T， 3=(一 a，一 a，一 b)T 线性相关，则a，b 满足关系式 _11 已知 1， 2， 3 线性无关， 1+2，a 23， 12+3 线性相关，则a=_12 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，一 2)T 线性表出，则 a=_13 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a=_14 向量组 1=(1，一 1，3，0) T， 2=(一 2，1，a，1) T， 3=(1，1，一 5，一 2)T 的秩为 2，则 a=_15 已知
6、r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_16 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_17 已知 A= 且 AXA*=B，秩 r(X)=2，则a=_18 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_19 与 1=(1，一 1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A-1= ，求 (A*)-121 设 A= ，求 An。22 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化
7、简(E+BA)EB(E+AB) -1A23 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C-1，证明 BAC=CAB24 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA25 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 E 一 A 可逆25 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=，其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵26 计算并化简 PQ；27 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b28 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A)-1 是正交矩阵考研数学三（线性代数
8、）模拟试卷 135 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 故应选C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+23=0， 1， 2， 3 线性相关 C 是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关 1， 2， ， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s+1 线性无关 D 是线性相关的意义故应选 D
9、【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1=(1，0) ， 2=(2，0)， 3=(0，2)， 4=(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+2=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故 A 不正确 对于(B)，取 4=一 1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0， 1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线
10、性相关故应选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由 ( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，可知 1 一 2， 2一 3， 3 一 1 线性相关故应选 D 至于 A，B，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+2， 1+2+3)=(1， 2， 3)由行列式 0 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 用定理 38的推论，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数
11、向量一定线性相关故应选 D请举例说明 A，B，C 均不正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)=r向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性无关，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例如，12， 2+3， ，3 +4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不_样，因而线性相关性没有必然的关系 例如， 1， 2， s与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关
12、(C)：因为(A 1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA(1， 2， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选 C (D)：要正确理解线性相关的意义【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 例如， 只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，A 不正确故应选 A因为 A 是 mn 矩阵，m=r(A)r(Ab)m 于是 r(A)=r(Ab)=mnB 正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又 r(A)=m，故 r(B)=0，即 B=0C正确A TA 是 n 阶矩阵， r(ATA)r(A)=mn ，
13、故A TA=0 ，即 D 正确【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关r( 1， 2， 3)3故 a=一 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关铮 1， 2， n=0而 1， 2， 3= =2a2(a 一 b)，故 a=0 或 a=b【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a2 一 3， 3=1 一 2+3，则 1， 2， 3 线性相关a 一 2=0 a=2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 1【试题解析】 不能由 1， 2， 3
14、线性表出甘方程组 x11+x22+x33= 无解又因为 a=一 1 时方程组无解，所以 a=一 1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 a3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出r( 1， 2， 3)=3因而=2(a 一 3)0，所以 a3 时，任何 3 维向量均可由1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=2，计算秩，得 a=一 2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r(1， 2， s，)=r 表明 可由1，
15、2， s 线性表出，于是 r(1， 2， s， ，)=r( 1， 2， s，)=r+1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= ，知 r(A*)=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(x)，从而 r(B)=2，B =0于是【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(AT)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0于是【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1，一 1，2，一 1)T【试题解析】 设
16、=(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则 Ti=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，一 1，2，一 1)T，单位化得 (1，一 1，2，一 1)T 为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 B2=2B，B n=2n1B= 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (E+BA)E 一 B(E+AB)-1A =E+BAB(E+AB)-1ABAB(E+AB)-1A =E+BAB(E+AB)(E+AB)-1A=E+
17、BABA=E【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABAC=E，即 A-1=BAC又 CABA=B，得 A-1=CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 AT=A，B T=一 B，那么(AB) T=BTAT=一 BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=一 AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=一 BA=一AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 Am=0，有 E 一 Am=E于是 (E 一 A)(E+A+A2+Am1)=E 一Am=E 所以 E
18、一 A 可逆，且(E 一 A)-1=E+A+A2+Am1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有=A 2(b 一 TTA-1) 因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA-1)由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b 一 TA-10，即 TA-1b【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (E 一 A)(E+A)-1(E 一 A)(E+A)-1T =(EA)(E+A)-1(E+A)-1T(E一 A)T =(E 一 A)(E+A)-1(E+A)T-1(E+A) =(E 一 A)(E+A)-1(E 一 A)-1(E+A) =(EA)(E 一 A)(E+A)-1(E+A) =(E 一 A)(E+A)(E 一 A)-1(E+A) =(EA)(E 一 A)-1(E+A)-1(E+A)=E 所以 (E 一 A)(E+A)-1 是正交矩阵【知识模块】 线性代数
