1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 140 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B，且|A|0 ，则( )（A）必有|B|=|A|（B）必有 |B|A|（C）必有 |B|0（D）|B|=0 或 |B|0依赖于所作初等变换2 设 A、B、A+B、A 1 +B1 均为 n 阶可逆阵，则 (A1 +B1 )1 =( )（A）A 1 +B1（B） A+B（C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 13 设 1， 2， ， m 均为 n 维向量，则( )（A）若 k11+k22+kmm=0，则 1， 2， m 线性相关（B）若对任
2、意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11+k22+kmm0，则1， 2， m 线性无关（C）若 1， 2， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11+k21+kmm。=0（D）若 01+02+0 m=0，则 1， 2， m 线性无关4 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解) 是( )（A）k 11+k2(1+2)+ (1 2)（B） k11+k2(1 2)+ (1+2)（C） k11+k2(1+2)+ (
3、1 2)（D）k 11+k2(1 2) (1+2)5 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题6 7 设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A1 BA=6A+BA，其中 A= ，则B=_8 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB=2A+B，B= ，则(A E)1 =_9 若向量组() ： 1=(1，0，0) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，1，1) T 可由向量组()：1， 2， 3， 4 线性表示，则()的秩为_10 设 1=(1， 2，0) T 和 2=(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征
4、值 2 的特征向量又 =(1，2，2) T，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 实 为实的 n 维非零列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 A=E 为对称的正交矩阵11 设矩阵 A=I T，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量，证明：12 A2=A 的充要条件是 T=1；13 当 T=1时， A 是不可逆矩阵13 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B14 证明 B 可逆；15 求 AB1 16 设 3 阶方阵 A 的逆阵为 A1 = 求(A *)1 17 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x
5、，使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关且满足A3x=3Ax2A 2x (1) 记矩阵 P=x，Ax，A 2x，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP1 ； (2)计算行列式|A+E|18 若矩阵 Amn、B np 满足是 AB=O，则有 r(A)+r(B)n19 设 1， 2， ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， m=t1m+t221，其中 t1，t 2 为实常数，试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系20 参数 p、t 取何值时，方程组 有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示
6、通解20 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解21 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；22 求 a，b 的值及方程组的通解23 设有 4 阶方阵 A 满条件| I+A|=0，AA T=2I，|A|0，其中 I 是 4 阶单位矩阵求 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值24 设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵24 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x 1x2+6x1x36x 2x3 的秩为 225 求参数 c 及 f 所对应矩阵
7、的特征值；26 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面27 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明： AB 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 140 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由(A 1 +B1 )A(A+B)1 B=(E+B1 A)(A+B)1 B=B1 (B+A)(A+B)1 B=B1 B=E，或 A(A+B)1 B=B1 (A+B)A1 1 =(B1 AA1 +B1 BA1 )1 =(B 1+A 1)1 =(A1 +B1 )1 即
8、知只有 C 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 注意 1， 1 2 亦为 Ax=0 的基础解系，而 12( 1+2)为 Ax=b 的一个特解由通解的结构即知 B 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 A 的特征值为 4，0，0，0，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P1 AP=PTAP=B，即 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 n!(2 n) 【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(1)倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则化成了上三角行列
9、式【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 B=(A 1 E) 1 6AA1 =6(A1 E) 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 (AE)B2A=O，(AE)B2(AE)=2E，(AE)(B2E)=2E，(A E)12(B2E)1=E， (AE) 1 =1 2(B2E)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 3【试题解析】 由条件，有 3=r()r()3， r( )=3【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (2，4，4) T【试题解析】 = 12 2 仍是 A 的属于特征值 =2 的特征向量，故A=2=(2， 4，4) T【知识模块】 线性代数三、解答题解
10、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 记正常数 b=2 T则 A=Eb T， AT=ETb( T)TT=Eb T=A，故 A 为对称矩阵，又由 T=2b，得 AAT=AA=(Eb T)(Eb T)=Eb Tb T+b2(T)T=E，故 A 为正交矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A 2=A (I T)(I T)=I T I2 T+(T)T=I T T+(T)T=O (T1) T=O(注意 TO) T=1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 当 T=1时，A 2=A，若 A 可逆，则有 A1 A2=A1 A，即A=I， T=O，这与 TO
11、，矛盾，故 A 不可逆【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因|A|0，而|B|= |A|0，故 B 可逆；【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 记 Eij 是 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得的初等方阵，则 B=EijA，因而 AB1 =A(EijA)1 =AA1 Eij1 =Eij【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (A *)1 =1|A|A=|A 1 |(A1 )1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)AP=Ax Ax A 2x=Ax A2x A3x=Ax A2x 3Ax2A 2x=x Ax A2x =PB 其中 使 AP=P
12、B，或 A=PBP1 (2)由(1)有A=PBP1 A+E=P(B+E)P1 |A+E|=|B+E|=4【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 AB=O 说明 B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，在B 的列向量中有 r(B)个线性无关的向量，故方程组 Ax=0 至少有 r(B)个线性无关的解向量，因而其基础解系至少含 r(B)个向量，从而有 nr(A)r(B)，或 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 Ax=0 的解的线性组合都是 Ax=0 的解，知 1， m 均为Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 m 个向量，故 1， 2， m 也为 A
13、x=0 的基础解系 1， 2， m 线性无关 m 阶行列式 =t1m+(1)m+1t2m0，即所求关系式为 t1m+(1) m+1t2m0，即当 m 为奇数时，t 1t 2；当 m 为偶数时，t 1t2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由增广矩阵的初等行变换：=B(1)当 t2 时，r(A)r( )，方程组无解；(2)当 t=2 且 p=8 时，由得通解为 x=(1，1，0，0) T+c1(4，2，1，0)T+c2( 1， 2，0，1) T(3)当 t=2 且 p8 时，由 得通解为 x=(1，1，0，0) T+c(1，2，0，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21
14、【正确答案】 若 1， 2， 3 是 Ax=b 的 3 个线性无关解，则 1 2， 1 3 是Ax=0 的两个线性无关解，故 Ax=0 的基础解系所含向量个数 4r(A)2， r(A)2，又显然有 r(A)2， r(A)=2；【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 a=2，b=3，通解 x=(2，3，0，0) T+k1(2，1，1，0)T+k2(4，5，0，1) T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AAT=2I 取行列式得|A|=2 4=16，因|A| 0，得|A|=4，A 有一个特征值为 = A*有一个特征值为|A| =2 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由于 A 有
15、 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 成立，故只需证明(1) 。下证(1) ：设 为 A 的特征向量，则有数 使 A=，两端左乘 B，并利用 AB=BA，得 A(B)=(B)，若B0，则 B亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因方程组 (EA)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B 的特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量，由于 的任意性，知 A 的特征向量都是 B 的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 的秩为2， c=3由|E A|=(4)(9)，得 A 的特征值为 1=0， 2=4， 3=9【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 标准方程为 4y22+9y32=1，故曲面为椭圆柱面【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (AB) T=BTAT=BA=AB，故 AB 也是实对称矩阵因 A 正定，有正定阵 S，使 A=S2于是 S 1 (AB)S=S1 SSBS=SBS=STBS 由 B 正定，知 STBS 正定，故 STBS 的特征值全大于 0，故与之相似的矩阵 AB 的特征值全大于 0，因此 AB 正定【知识模块】 线性代数
