1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 151 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能2 已知 1， 2 是方程(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 一 2（D） 1+23 下列矩阵中能相似于对角矩阵的是 ( )4 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 ( )5 设 其中与对角矩阵相似的有 ( )
2、（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C6 已知 P-1AP= 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1，一 2， 3（B） 1， 2+3， 223（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1 一 2， 37 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C）对 A 的每个 ri 重特征值 i，均有 r(iE 一 A)=n 一 ri（D）A 是实对称矩阵8 实二次型 f(x1，x
3、 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f，一 f 对应的矩阵合同，则必有( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=0二、填空题9 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_10 设 A 是 3 阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=_11 设 A 是 n 阶实对称矩阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 一 111T 的特征值是_12 与 1=1， 2，3，-1 T， 2=0，1，1，
4、2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_13 已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量，那么a=_14 已知 =1，3，2 T，=1，-1，一 2T，A=E 一 T，则 A 的最大特征值为_15 已知 ，则 r(AE)+r(2E+A)=_16 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 证明：若 A 为 m n 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n18
5、 证明：r(A+B)r(A)+r(B)19 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O20 证明：n(n3) 阶非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A是正交矩阵21 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算： (1)|A| ；(2)A n；(3)A -122 设 A 是主对角元为 0 的 4 阶实对称矩阵，E 是 4 阶单位矩阵，B= 且 E+AB 是不可逆的对称矩阵，求 A23 设 证明 A=E+B 可逆，并求 A-124 设 B 是可逆矩阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B
6、2=O,证明 A 和 A+B 都是可逆矩阵，并求 A-1 和(A+B) -125 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 且 ABA-1=BA-1+3E，求 B26 设 A 是 n 阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为27 设 A=(aij)nn，且 =0，i=1 ，2，n，求 r(A*)及 A*28 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1 讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性29 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=
7、0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关30 设四元齐次线性方程组(I) 又已知某齐次线性方程组()的通解为k10，1 ，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T (1)求线性方程组(I)的基础解系； (2) 问线性方程组(I)和( )是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由31 设 1， 2， t 和 1， 2 s 分别是 Ax=0 和 Bx=0 的基础解系证明：Ax=0和 Bx=0 有非零公共解的充要条件是 1， 2， t， 1,2， s 线性相关32 已知 1=1，2，一 3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，一 3，6，
8、3T， 4=2，一 1，3，a T问： (1)当 a 为何值时，向量组 1， 2， 2， 4 线性相关；(2)当 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)当 a 为何值时， 4 能由1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式33 已知 问 取何值时， (1) 可由1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一； (2) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一； (3) 不能由 1， 2， 3 线性表出34 设向量组 1=a11，a 21，a n1T， 2=a12，a 22，a n2T， s=a1s，a 2s， ansT证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充
9、要条件是齐次线性方程组 有非零解(唯一零解)35 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表出式的系数全不为零证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关36 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti+1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关37 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是 3 维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)证明 A1，A 2，A 3 线性无关；(2)求|A|38 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A
10、 s 线性相关证明：A 不可逆39 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n40 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0证明：A=O 41 向量组 1， 2， t 可由向量组 1， 2， s 线性表出，设表出关系为1， 2， t=1， 2， s 1， 2， sC 若1， 2， s 线性无关证明： r( 1， 2， t)=r(C)42 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A43 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=2 (1)求 A
11、 的特征值和特征向量； (2) 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A44 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求： (1)A 2： (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角矩阵，说明理由45 设 问 A，B 是否相似，并说明理由46 设 A 是 3 阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=2，2，一 1T， 2=-1，2，2 T， 2=2，-1，2 T又 =1，2，3 T计算：(1)An1；(2)A n47 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x2
12、2-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵48 设矩阵 A= 矩阵 B=(kE+A)2，求对角矩阵 A，并证明 B 和 A 相似，并问 k 为何值时，B 为正定矩阵49 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，求正交矩阵 P，经正交变换 ，使得考研数学三（线性代数）模拟试卷 151 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1于是(0E 一 A)X=0 有两个线性无关的特征
13、向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A=此时 r(A)=1，=0 是三重特征值【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 一 20，且仍有关系 A(1 一 2)=1 一 2=(1 一 2)，故 1 一 2 是 A 的特征向量 而 1， 2， 1+2 均有可能是零向量而不能成为 A 的特征向量，故排除(A) ，(B) ，(D) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角矩阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因可有两个线性无关特征向量，故 C
14、可相似于对角矩阵，而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(ED)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 是对称矩阵，必相似于对角矩阵， C 有三个不同的特征值，能相似于对角矩阵A，B 的特征值均为 =1(二重)， =2(单根)当 =1 时，r(E 一B)= ，有两个线性无关特征向量，故 B 能相似于对角矩阵而当 =1时，r(E 一 A)= =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角矩阵，所以选(A)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵
15、 A 有三个不同的特征值，所以 A 可相似对角化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5 ，由于所以 =2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化矩阵 D的特征值也是 2，2，5，由于 所以 =2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选 (C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ，P= 1， 2， 3，则有 AP=PA，即A1， 2， 3=1， 2， 3 即 A 1，A 2，A 3=a11，a 22，a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai(i=1，2，3)的
16、特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此，1， 2， 3 线性无关 若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故 (A)正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 223 仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 223 线性无关，故(B)正确 对于(C) ，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2， 3 不论先后均正确，即(C)正确 由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D) 错误【知识模块】 线性代数
17、7 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 对每个 ri 重特征值 i，均有 r(iE 一 A)=n 一 ri，即对应 ri 重特征值 i，有 rr 个线性无关特征向量(共 n 个线性无关特征向量) (A)，(D) 是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 f，一 f 对应的矩阵合同，故有p=p1，q=q 1，从而有 r=p
18、+q=p+p1=2p，s=p 一 q=p 一 p1=0，故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 0(n 一 1 重)，n(单重)【试题解析】 因 故 =0(n一 1 重特征值)，=n(单重 )【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 6【试题解析】 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值一 1，一 2，一 3，则A+4E 有特征值 3，2，1，故|A+4E|=6 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称矩阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 Bi=(A111T
19、)i= 故 B 有特征值0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 设与 1， 2， 3 都正交的向量 =x1，x 2，x 3，x 4T，那么对上述齐次方程组的系数矩阵 A 进行初等行变换，有故 n 一 r(A)=43=1，则Ax=0 的基础解系由一个非零向量组成则 Ax=0 的基础解系为一 1，一 1，1，0T，将其单位化，得 1，1，一 1，0 T，即为所求【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1=0，于是=0A，即 解得 ，a=一 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】
20、 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中tr(T)=T=一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 即存在可逆矩阵 P，使得则 r(A-E)=r(PAP -1 一 E)=r(P(A-E)P-1)=r(A-E)=r(A+2E)=r(P(A+2E)P-1)=r(A+2E)= 故 r(A-E)+r(A+2E)=1+2=3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 f 的对应矩阵 f 正定，即 A 正定 A 的顺序主子式大于 0，即 取公共部分，知 t
21、 的取值范围是【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 意到 因为是可逆矩阵，所以 =r(En)+r(一 AB)=n+r(AB)而 当 B 有一个 t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2阶子式不为 0 时, 一定有一个 t1+t2 阶子式不为 0，因此故 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(AB)=0，故 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量
22、组 1， 2， n， 1， 2， n 线性表出的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2,， n)+r(1， 2,， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0 必要性 tr(AAT)=0，设=(aij)nn，A T=(aij)nnT=(aji)nn，记 B=AAT，则 tr(AAT)=ajk=0(
23、k=1，2，n，i=1，2，n)，即 A=O【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由题设有 aij=Aij，则 A*=AT，于是 AA*=AA T=|A|E 两边取行列式，得|A| 2=|A|n，得|A| 2(|A|n-2-1)=0 因 A 是非零矩阵，设 aij0，则|A|按第 i 行展开有 从而由|A| 2(|A|n-2 一 1)=0，得|A|=1，故AA*=AAT=|A|E=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)|A|=|E+ T|(2)An=(E+T)n=En+nEn-1T+En-2(T)2+ 当 k2 时， ( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T
24、)( T)T=O故 An=E+nT (3)因 A2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2T 一 E=2AE，故 2AA2=E，A(2E-A)=E，于是 A-1=2EA=E 一 T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因(E+AB) T=E+AB，故有b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有|E+AB|= =14f2=0，得 f= 从而得 其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E 一B+B2-B3)=EB4=E。故 A=E+B 可逆，且 A -1=(E+B)-1=E-B+B
25、2 一 B3 又【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=-B 2 式两端右边乘(-B2)-1，得 A(A+B)(-B2)-1=E，得 A 可逆，且 A -1=(A+B)(一 B2)-1 式两端左边乘(一 B2)-1，得( 一 B2)-1A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1=(一 B2)-1A【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设有(A-E)BA -1=3E， (AE)B=3A， A -1(A-E)B=3E， (E A-1)B=3E 其中|A*|=8=|A| 3，即|A|=2，从而得(2E 一 A*)B=6E B=
26、6(2EA*)-1，又【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)将 A 中各列加到第一列，得若 a=0，则|A|=0，这与 A 是可逆矩阵矛盾，故 a0 (2)令 A=1， 2， n，A= 1， 2， n，E=e 1，e 2，e n，由 A-1A=E，得 A -11， 2， n=e1，e 2，e n， A -1jej，j=1 ，n， A -11+A-12+A-1n=e1+e2+en，A -1(1+2+ n)= 另一方面，=a(1+2+ n)比较以上两式，可得 a(1+2+ n)= 1+2+ n= 故 A-1 的每行元素之和为【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 =0，i=1 ，2
27、，n，可知|A|=0，r(A)n 一 1，当 r(A)=n一 1 时，有 r(A*)=1，当 r(A)n 一 1 时，r(A*)=0 ，故有 r(A*)1 当 r(A*)=1 时，A*=T，其中 , 为非零列向量；当 r(A*)=0 时，A*=O 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 x11+x22+xss=O，即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数行列式当 s 为奇数时， |A|=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， ， s 线性无关；当 s 为偶数时， |A|=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s
28、线性相关 1， 2， s=1， 2， s=1， 2， sKss 因为 1， 2， s 线性无关，所以 r( 1， 2， s)=r(K) 又 r(K)=s |K|=1+(一 1)s+10，于是 s 为奇数时，r(1， 2， s)=s，则向量组 1， 2， s 线性无关； 又 r(K)s |K|=1+(一1)s+1=0，于是 s 为偶数时， r(1， 2， s)s，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 k1+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两端左边乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，则
29、k11+ktt=0 由 1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0，故 k=0，所以，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)线性方程组(I) 的解为 得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=一 1，1，0，1 T(2) 将方程组()的通解代入方程组(I)，得 k1=-k2方程组(I) 和()有非零公共解，且为 x=一 k20，1，1，0T+k2一 1，2，2，1 T=k2-1，1，1，1 T=k一 1，1 ，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 充分性 由 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关，知存
30、在不全为零的一组数 k1，k 2， k t，l 1，l 2，l s，使得 k11+k22+ktt+ktt+l11+l22+lss=0 令 =k11+k22+ktt，则 0(否则 k1，k 2,，k t，l 1，l 2， ，l s 全为 0)，且 =-l11-l22 一-l ss， 即非零向量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 必要性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则=k11+k22+ktt，且 =-l 11 一 l22-一 lss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s
31、 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 从而 1， 2，, t， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 1， 2， 3， 4= (1)当 a=4 或 a=12 时，1， 2， 3， 4 线性相关； (2)当 a4 且 a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关；(3)当a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出，且 4=1+3【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 1， 2， 3，=(1)当0 且 一 3 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一；(2)当 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；
32、(3)当 =一 3 时， 不能由 1， 2， 3线性表出【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x11+x22+xss=0 成立 (没)有不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 成立 齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中存在 s 个向量 1， 2， i-1， i+1，, s， 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k s，k，使得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题
33、设 =l 11+l22+lii+lss，其中 li0，i=1，2，s代入式，得 (k1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki-1+kli-1)i-1+klii+ (ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因已知 1， 2， ， s 线性无关，从而有 kli=0，l i0，故 k=0，从而由 式得k1，k 2，k i-1，k i+1，k s 均为零，矛盾故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 设存在一组数 k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 成立，即 k 1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1)
34、 =k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks-1t+ks)s+ksts+1=0因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 1+3， 1+2=1， 2， 31,2， 3C，可得|C|= =20，C 是可逆矩阵，故A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关(2)A1， A2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相
35、关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0 其中 =k11+k22+kss因已知 1， 2， s 线性无关，故对任意不全为零的k1，k 2，k s，有 =k 11+k22+kss0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而|A|=0，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 充分性 因 r(A)n，故 AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则BO，且有 AB=O 必要性 若 AB=O，其中 BO，设 B=1， 2， s，则Ai=0，i=1，2，s其中 i(i=1， 2，s
36、)不全为 0，即 AX=0 有非零解，故r(A)n【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由得 a11=a21=-=an1=0 类似地，分别取 X 为e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=O【知识模块】 线性代数41 【正确答案】 设 B=1， 2， t=1， 2， sC=AC，于是有 r(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)一 s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)，即 r(1， 2， t)=r(C)
37、【知识模块】 线性代数42 【正确答案】 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A=T= 若 T=0，则 =0,0，故 =0；若 T0，式两端左边乘T， TT=(T)T=(T)因 T0，故 =T= 再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时， 即解方程 a1x1+a2x2+anxn=0，得特征向量为 (设 a10) =a2，一 a1，0，0 T， =a3，0，-a 1，0 T， n-1=an，0，0，一 a1T由观察知n=a1， a2，a nT【知识模块】 线性代数43 【正确答案】 (1)设 (E+ T)= 式两端左边乘 T 得 T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T若
38、 T0，则 =1+T=3；若 T=0，则由 式，=1当 =1 时，(E-A)X=一 TX= b1，b 2，b nX=0，即b 1，b 2，b nX=0，因 T=2，故 0，0，设 b10，则 1=b2，一 b1，0，0T， 2=b3，0，一 b1，0 T， n-1=bn，0，0，一 b1T，即 A 的对应于特征值 1 的特征向量为 k1+k22+kn-1n-1，k 1，k 2，k n-1 为不全为零的常数； 当 =3 时，(3E-A)X=(2E 一 T)X=0， n=a1，a 2，a nT，即 A 的对应于特征值 3 的特征向量为 knn，k n 是不为零的常数 (2) 由 (1)可取可逆矩阵
39、P=1， 2， n-1， n= 故 P-1AP=【知识模块】 线性代数44 【正确答案】 (1)由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O，即 A 是幂零矩阵(A 2=O) (2)利用 (1)A2=O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A=两端左边乘 A，得 A2=A=2因 A2=O，所以 2=0，0，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为0故由上易知方程组 Ax=0 的非零解即为 A 的特征向量不妨设 a10，b 10，有则 A 的对应于特征值 0 的特征向量为k1，k n-1 为不全为零的常数 (3)A不能相似于对角矩阵
40、，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数45 【正确答案】 因 A，B 均是实对称矩阵，故均可相似于对角矩阵，由于对换|E 一 A|的 1，2 列和 1，2 行，得故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角矩阵，故 AB 【知识模块】 线性代数46 【正确答案】 (1)因 A1=11，故 An1=1n1 故 An1=1.1=2，2，一 1T (2)由Ai=ii 有 Ani=ini，将 表示成 1， 2， 3 的线性组合设 =x
41、11+x22+x33，【知识模块】 线性代数47 【正确答案】 (1)二次型的矩阵 ，则二次型 f 的矩阵表达式f=xTAx(2)A 的特征多项式|E 一 A|=(6+)(1 一 )(6 一 )，则 A 的特征值 1=一6， 2=1， 3=6 1=一 6 对应的正交单位化特征向量 2=1 对应的正交单位化特征向量 3=6 对应的正交单位化特征向量令正交矩阵 P=p 1，p 2，p 3= 所求正交变换为 二次型 f 的标准形为 f=一 6y12+y22+6y32【知识模块】 线性代数48 【正确答案】 |E 一 A|= =( 一 2)2，A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 Q，使得 Q TAQ=A1= A=QA 1QT，B=(kE+A) 2=(kE+QA1QT)2=Q(kE+A1)QT2=Q(kE+A1)2QT 当 k0 且 k一 2 时，B 的特征值全部大于 0，这时 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数49 【正确答案】 f(x，y)=x 2+4xy+y2= f(x，y)=|E 一 A|=( 一 3)(+1)，|E 一 B|=(一 3)(+1)实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同【知识模块】 线性代数
