1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32，- 3， 21)，则 P-1AP 等于( )2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（
2、C）若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得
3、QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题7 设 A= ， A0 且 A*的特征值为一 1，一 2，2，则a11+a22+a33=_8 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=一 ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P=(23，-3 1，- 2)，则 P-1(A-1+2E)P= 9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1， 2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3满足_10 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，
4、A 是三阶方阵，且A1=1+2，A= 2+3，A 3=3+1，则A= 11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解，=(a，1，1一 a)T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_12 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_13 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r求 5E+A15 设 A= 相似于对角阵求： (1)a 及可逆阵 P，使得 P-1AP=A，其中 A为对角阵； (2)A 10016 设 A= 有三个线性无关的
5、特征向量，且 =2为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵17 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201018 设 A= ，方程组 AX=有解但不唯一(1)求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵； (3)求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵19 设矩阵 A= ， (1) 若 A 有一个特征值为 3，求 a； (2)求可逆矩阵P，使得 PTA2P 为对角矩阵20 设矩阵 A= 为 A*对应的特征向量(1)求 a，b 及 a对应的 A*的特征值；(2)判断 A 可否对角化21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3
6、是三维线性无关的列向量，且 的列向量，且 A 1=一 1+22+23，A 2=21 一 2 一 23，A 3=21 一 22 一 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求 A*+2E22 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化23 设 A=(1)求常数 a，b，c；(2)判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由24 设二维非零向量 a 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A2+A-
7、6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；25 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化考研数学三（线性代数）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32， -3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以 P-1AP= ，选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 令 A= ，显然 A，B 有相同的特征值，而r(A)r(B)，所以 A，
8、B ，C 都不对，选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=E(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是 XTATAX=2XTX，即( 2 一 1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩
9、阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选 D【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 -2【试题解析】 因为A *=A 2=4，且A0，所以A =2，又AA*=AE=2E，所以 A-1= ，一 1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为一 2，一 1，1，于是 a11+a22+a33=一21+1=一 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【
10、试题解析】 P -1(A-1+2E)P-1A-1P+2E，而 -1A-1P=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 230【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)一 0，即 (x 1+1x2+12x3)1+(2x2+22x3)2+32x33=0，则有 x1+1x2+12x3=0， 22x2+22x3=0， 32x3=0，因为x1，x 2，x 3 只能全为零，所以 0 230【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为
11、A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=一 1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，一a，1) T， 2=(a，1，1 一 a)T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2 一 a+1 一a=0，解得 a=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 由E 一 A= =(+1)( 一 1)2=0 得 1=一1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)=1，解得 a=4【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1=一 2， 1=
12、3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 A2=AA(EA)=Or(A)+r(EA)=nA 可以对角化 由A2=A，得AE A=0，所以矩阵 A 的特征值为 =0，1 因为 r(A)=r，所以 =1为 r 重特征值，=0 为 n 一 r 重特征值， 所以 5E+A 的特征值为 一 6(r重)，=5(n 一 r 重)，故5E+A =5 n-r6r【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)E 一 A=0 1=2=1， 3=一 1因为 A
13、相似于对角阵，所以 r(EA)=1a=一 2A= (EA)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，( 一 EA)X=0 基础解系为 3=(1，2，一 1)T，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=diag(1，1，一 1)(2)P -1A100P=EA 100=PP-1=E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)=1， 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 =1，=一 1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对
14、角化，所以有所以 P-1A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)因为方程组 AX=有解但不唯一，所以 A=0，从而 a=一 2或 a=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)E 一 A=( 2 一 1)2-(a+2)+2a一 1，将 =3代入上式得a=2，于是 A= (2)由E 一 A2=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1时，由(EA 2)X=0 得 1=(1，0，0，0)T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，一 1，1) T；当 =9时，由(9EA 2)X=0 得4=(0， 0，1， 1)T将 1，
15、2， 3 正交规范化得 1=(1，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 A =B 由E 一A=E-B=(+5)( 一 1)2=0，得 A 的特征值为一 5，1，1 (2)因为A =一5，所以 A*的特征值为 1，一 5，一 5，故 A*+2E 的特征值为 3，一 3，一 3 从而A 2+2E=27【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为
16、 B=(A*)2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6 又因为A *=36=A 3-1，所以A =6 由，得 1=3， 2=2， 3=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A-1 的特征值为 1， 因为 A-1 的特征值都是单值，所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)若 ， A线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，显然 k20，所以 A=一 ，矛盾，所以 ，A 线性无关 (2)由A2+A一 6=
17、0，得(A 2+A 一 6E)=0， 因为 0，所以 r(A2+A 一 6E)2，从而A 2+A 一 6E=0，即 3E+A2EA =0，则3E+A =0 或2E A=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E 一 A)=0，得 (2E 一 A)=0，即 A=2，矛盾； 若2EA0，则 2EA 可逆，由(2E 一 A)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=一 3，矛盾，所以有3E+A=0 且2E 一 A=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1-2)=一( 1-2)，A( 2-3)=一(2-3)，得 A 的另一个特征值为 2=一 1因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1-2与 2-3 也线性无关，所以 2=一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1 (2)因为 1-2， 2-3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数
