1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式|1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+2|等于 ( )（A）m+n（B）一 (m+n)（C） n-m（D）m-n2 A 是 n 阶方阵，|A|=3，则 |(A*)*|= ( )（A）3 (n-1)2（B） 3n2-1（C） 3n2-n（D）3 n-13 设 ，则(P -1)2016A(Q2011)-1= ( )4 向量组() 1， 2， s，其秩为
2、 r1，向量组( ) 1， 2， s，其秩为 r2，且i，i=1，2，s 均可由向量组( ) 1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 11， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1-r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r15 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的易，AX=b 有无穷多解6 下列矩阵中
3、能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题7 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，|B|=2 ，则行列式=_ 8 设 ，则(A *)-1= _ 9 已知向量组 与向量组等秩，则 x= _10 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算行列式12 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵13 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*14 设(2E 一 C-1B)ATC-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵
4、， AT 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A15 设 1， 2， t 和 1， 2， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 y1， 2， t， 1， 2， s 线性相关15 已知 1=1，2，一 3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，一 3，6，3T， 4=2，一 1，3，a T问：16 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关；17 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关；18 a 为何值时， 4 能由 1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式19 已知线性方程组 及线性方程组()
5、的基础解系 1=一 3，7，2，0 T， 2=一 1，一 2，0，1 T求方程组 ()和()的公共解20 已知方程组 及方程组()的通解为 k 1一 1，1，1，0T+k22，一 1，0，1 T+一 2，一 3，0，0 T求方程组()，()的公共解21 设矩阵 ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角阵22 设 问 A，B 是否相似，为什么?22 设 A 是三阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=2，2，一 1T， 2=一 1，2，2 T， 3=2，一 1，2 T又 =1，2，3 T 计算：23 An1；24
6、An25 设矩阵 ，矩阵 B=(kE+A)2，求对角阵 A，与 B 和 A 相似，并问 k为何值时， B 为正定阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 | 3， 2， 1， 1+2|=|3， 2， 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =一|1， 2， 3， 1|1， 2， 3， 2| =一| 1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3| =n 一 m 应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 |A|=3，A 可逆 (A *)(A*)*=|A*|E， (A
7、*)*=|A*|(A*)-1|A*| =|A|n-2A， |(A*)*|=|A|n-2A|=|A|(n-2)n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 易知 P2=E，故 P-1=P，进一步有 (P -1)2016=P2016=(P2)1008=E故(P -1)2016A(Q2011)-1= ，由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 的第 2 列的 2011 倍加到第 1 列，计算可知应选 (B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r1 则i(
8、i=1， 2，s)均可由 1， 2， r1 线性表出，又 i(=1，2，s) 可由()表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(AT|b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题
9、解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=1=1，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而 r(E 一 A)=r(E 一 B)=r(E 一 D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，|A|=|B|=2 ，且123=|A|=2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 |A+e|=(1+1)(2+1)(3+1)=12， |(2B) *|=
10、|22B2|=43|B*|=43|B|2=256，故【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3= 知r(1， 2， 3)=2，由题设：r( 1， 2， 3)=2 因故 x=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0(n 一 1 重根)，n(单根)【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 按第一列展开，得【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 充分件 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的
11、对角阵【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (A *)T 一(|A|A -1)T=|A|(A-1)T=|A (AT)-1=|AT|(AT)-1=(AT)*【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由(2E C-1B)AT=C-1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 1， 2， r， 1， 2， r 线性相关，知存在k1，k 2，k r，l 1，l 2，l r 不全为零，使得 k1 1+k22+ktt+l11+l2 2+ls s=0令 =k11+k2 2+ktt，则 0(否则 k1，k 2，k 1，l 1，l 2，l s 全为 0)，且 =一 l11，l 22，l ss，即一个非零向
12、量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 A Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 若 Ax=0 和Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则 =k1 y1+k2 2+ktt，且 =一 l11l22 一lss，于是，存在 k1，k 2， ，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k 1 1+k22+ktt+l11+l22+lss=0从而 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1， 2， 3， 4=故(1)a=4 或 a=12 时， 1， 2， 3， 4 线性相关。【知识模块】 线性
13、代数17 【正确答案】 a4，a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出 得 4=1+3【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k1-3，7，2，0 T+k2-1，-2，0，1T=-3k1 一 k2，7k 1-2k2，2k 1，k 21， 其中 k1，k 2 是任意常数将该通解代入方程组()得： 3(-3k 1 一 k2)一(7k 12k2)+8(2k1)+k2=-16k1+16k1-3k2+3k2=0， (-3k 1-k2)+3(7k1-2k2)一 9(2k1
14、)+7k2=-21k1+21k1-7k2+7k2=0， 即方程组()的通解均满足方程组()，故()的通解 k 1-3，7，2，0 T+k2一 1，一 2，0，1 T 即是方程组() ，()的公共解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 将方程组()的通解 k 1一 1，1，1，0 T+k22，一 1，0，1 T+一2，一 3，0，0 T=一 2 一 k1+2k2，一 3+k1 一 k2，k 1，k 2T，代入方程组()，得化简得 k 1=2k2+6 将上述关系式代入(的通解，得方程组( ) ，( )的公共解为： 一 2 一(2k 2+6)+2k2，一 3+2k2+6 一k2，2k 2+6，k
15、 2T=一 8，k 2+3，2 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于对换|E 一 A|的 1，2 列和 1，2 行，得故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故 AB 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 y 因 A1=11，故 An1=1n1，故 An1=1.1=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 利用 Ai=ii 有 Ani=ini，将 B 表成 1， 2， 3 的线性组合设 =x11+x21+x31，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 当 k0，k 一 2 时，B 的特征值全部大于 0，这时 B 为正定阵【知识模块】 线性代数
