1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设其中 A 可逆，则 B-1 等于（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P12 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=P -1AP（B） C=PTAP（C） C=PAP-1（D）C=PAP T3 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3，) ，则
2、QTAQ 为4 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1= ，P 2= ，则 A=（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-15 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 p-1AP= 若 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q-1AQ=6 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得曰，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为7 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有（A）a=b
3、 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab，a+2b=0（D）ab 且 a+2b0二、填空题8 设 A= ，其中 ai0，i=1，2， ，n，则 A-1=_.9 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 A= ，E 为单位矩阵，A *为 A的伴随矩阵，则 B=_.10 已知 AB-B=A，其中 B= ，则 A=_.11 设矩阵 A= ，且秩(A)=3，则 k=_.12 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_.13 设，n(n3)阶矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为
4、 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵14 计算并化简 PQ；15 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b16 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 是 4 阶单位矩阵，求矩阵 B考研数学三（线性代数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 把矩阵 A 的 1、4 两列对换，2、3 两列对换即得到矩阵 B根据初等矩阵的性质，有 B=AP 1P2 或 B=AP2P1 那么 B-1=(AP2P1)-1 =P1-1P2-
5、1A-1 =P1P2A-1 所以应选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A=P 2-1EP1-1 =P2P1-1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 先化简矩阵方程将已知矩阵方程左乘 A 右乘 A-1 有 A(A *BA)A-1=A(2BA)A-1-A(SE)A-1， 并利用 AA*=丨 A 丨
6、 E 及本题中丨 A 丨=-2，则B+AB=4E.【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 -3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1/(1-n)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 AA*=A*A=丨 A 丨 E 及 A*=丨 A 丨 A-1，有【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有=丨 A 丨 2(b-TA-1)又因 A 可逆，丨 A 丨0故丨 Q 丨=丨 A 丨(b- TA-1)由此可知 Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10即 TA-1b【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由丨 A*丨=丨 A 丨 n-1，有丨 A 丨 3=8，得丨 A 丨=2 A 是可逆矩阵用 A 右乘矩阵方程的两端，有 (A-E)B=3A 因为 A*A=AA*=丨 A 丨 E，用A*左乘上式的两端，并把丨 A 丨=2 代入，有 (2E-A *)B=6E于是 B=6(2E-A *)-1 【知识模块】 线性代数
