1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A 不可逆，且 EA 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O2 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B3 已知 n 维向量的向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s 可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量
2、加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量4 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解5 已知 A
3、 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能6 设 A=E-2XXT ，其中 X=x1，x 2，x nT ，且 XT X=1，则 A 不是 ( )（A）对称阵（B）可逆阵（C）正交阵（D）正定阵二、填空题7 设 ，则 A-1= _ 8 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+1，l 1+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，l 3 应满足关系 _ 9 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1
4、， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24，则 Ax= 的通解为 _ 10 已知 ，则 r(AE)+r(2E+A)= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是|A|=1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-112 设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系12 已知 问 取何值时，13 可由 1，
5、2， 3 线性表出，且表达式唯一；14 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一；15 不能由 1， 2， 3 线性表出16 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关16 设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，证明：17 A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积；18 存在数 ，对任意正整数 k，有 Ak=k-1A19 设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+m 一 s20 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3，
6、4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解21 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和考研数学三（线性代数）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E， E 3 一 A3=(E 一 A)(A2+A+E)=E，故 A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知， EA
7、，E+A 也均可逆，故(A) ，(B)不成立，同时 (D)不成立，例：【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第 1，2 行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 (C)成立【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关 (A) ，(B)属初等 (n)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAx=0 是同解方程组【知识模
8、块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1 (0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A= ，r(A)=1， =0 是三重特征值【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2XXT)T=E 一 2XXT=A，A 是对称阵； A 2=(E 一 2XXT)T=E一 4XXT+4XXTXXT=E， A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A 是正交阵； AX=(E 一 2XXT)X=一 X，X0，= 一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵【知识模
9、块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2l 1 一 l2+3l3=0【试题解析】 因 l1 +1， l2 +2，l 3 +3 线性相关 存在不全为零的k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2-2)+k3(l3+3)=0，即 (k 1l1 +k2l2 +k33 )+k11+k22+k33=0 因 是任意向量， 1， 2， 3 满足 212+33=0，故令 2l1 l2 +3l3=0 时上式成立故 l1 ，l 2 ，l 3 应满足 2l1 -l2 +3l3 =0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k1，k 2R【试题解
10、析】 由 =1+22-3-1+2+3+4-1+32+3+24 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即r(A)2综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一2， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系，故 Ax= 的通解为 ，k1，k 2R【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵 若|A|=1，则
11、AA*=|A|E=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij； 若|A|=-1，则 AA*=|A|E=一 E，A(-A *)=E，而已知 AAT=E，从而有-A *=AT，即 aij=-Aij 充分性 |A|=1 且aij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=|A|E=E，A 是正交阵，|A|=-1，且 aij=一 Aij 时，一A*=AT，AA *=|A|E=一 E，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 记 Eij 为初等阵则B=EijA，|B|=|E ijA|=|Eij|A|=一|A|0 ，故 B 可逆，且 B -1=(EijA)-
12、1=A-1Eij-1=A-1Eij故知B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1， 2， 3，=0 且 一 3， 可由1， 2， 3 线性表出，且表出法唯一；【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 =一 3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中任意 s 个向量组1， 2， i-1， i+1， s， 线性相 关，则存在不全为零的 k
13、1，k 2，k i-1，k i+1，k s，k，使得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l11+l22+lii+lss， 其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki-1+kli-1)i-1+klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0因已 知1， 2， s 线性无关，从而由 kli=0，k0，故 k=0，从而由式得k1，k 2，k i-1，k i+1，k s 均为 0，矛盾。 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案
14、】 将 A 以列分块，则 r(A)=r(1， 2， n)=1 表明列向量组1， 2， n 的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为 i=1， 2， nT(i0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为 i=bji(j=1，2，n；j=i 时，取bi=1)，则 A=1， 2， n=b1i，b ni，b ni=ib1，b 2，b n= b1，b 2，b n【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 记 a=ai=1， 2， nT，=b 1，b 2，b nT，则 A=T，A k(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T 记 T=a1 b1+a2b2+anbn=，则 A k=k-1T=k-1A
15、【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因(A 的行向量的个数 s)一(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B的行向量个数 m)一(B 的线性无关的行向量的个数 rB)，即 sr(A)mrB，得 rBr(A)+m s=r+m 一 s【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 1=22 一 3 及 2， 3， 4 线性无关组知 r(A)-=r(1， 2， 3， 4)=3且对应齐次方程组 AX=O 有通解 k1，一 2，1，0 T，又=1+2+3+4，即 1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程组有特解 =1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0T+1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak 点，且相应的特征向量相同，即即 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数
