1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)在点 xa 处可导，则函数f(x)在点 xa 处不可导的充分条件是_ （A）f(a)0 且 f(a)0（B） f(a)0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)02 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 _ （A）EA E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似3 向量组 1， 2，, m 线性无
2、关的充分必要条件是 _ （A）向量组 1， 2，, m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11k 22k mm0（C）向量组 1， 2，, m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2，, m 的任意一个部分向量组线性无关4 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（A）（B） （C） （D）5 二次型 f(x1，x 2，x
3、 3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3 的秩等于_。（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1, 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1， 则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示7 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是 A 的伴随矩阵， 则（A）(A *)*=丨 A 丨 n-1A
4、（B） (A*)*=丨 A 丨 n+1A（C） (A*)*=丨 A 丨 n-2A（D）(A *)*=丨 A 丨 n+2A8 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1， 则必有(kA) *=（A）kA *（B） kn-1A*（C） knA*（D）k -1A*.9 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0 则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆10 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵 则(A -1+B-1
5、)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -1二、填空题11 若 x0 时，(1ax 2)1/41 与 xsinx 的等价无穷小，则 a_12 已知 f(lnx)1x，则 f(x)_13 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1E_14 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩为 1，A 的各行元素之和为 3
6、，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为_ 16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_.17 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3 为标准形18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.19 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.20 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.21 设 A 为 3
7、 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_22 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=23 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_24 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.25 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3
8、 为正定二次型，则 a 的取值范围_.26 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a T， B=E+1/a T其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_.27 设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵 则(A-E) -1=_.考研数学三（线性代数）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 可
9、由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11，k 22，.,k mm 由于 不能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+lm-1m-1，则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 伴随矩阵的基本关系式为 AA*=A*A=丨 A 丨 E 现将 A*视为关系式中的矩阵 A，则有 A *(A*)*=丨
10、 A*丨 E 那么，由丨 A*丨 =丨 A 丨 n-1 及(A *)-1 =A/丨 A 丨，可得 (A *)*-丨 A*丨（A *-1） = 丨 A 丨 n-1A/丨 A 丨 =丨 A 丨 n-2A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的 n 阶矩阵自然也要成立 那么,A 可逆时， A *=丨 A 丨 A-1 有(kA) * =丨 kA 丨(kA) -1=kn 丨 A 丨 1/kA-1 =kn-1A 选(B)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E， (E+A)(E-A+A
11、 2)=E+A3=E 所以，由定义知 E-A，E+A 均可逆故选 (C)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 -4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 x+e x+C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 24【
12、试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1E 1.2.3.424【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3y 12【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 f=9y 32【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 -1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 -27【知识模块】 线性代数22 【
13、正确答案】 n-m【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 -2 2n-1/3【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 24【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 -2a2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 -1【试题解析】 按可逆定义，有 AB=E，即 (E- T)(E+1/aT)=E+1/aT-T-1/aTT 由于 T=2a2，而 T 是秩为 1 的矩阵.【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞应当考虑用定义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0 故 (A-E)(A+2E)=2E 按定义知 (A-E) -1=1/2(A+2E)【知识模块】 线性代数
