1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 61 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）|A+B|=|A|+|B|（B）若 |AB|=0，则 A=0 或 B=0（C） |A 一 B|=|A|一|B|（D）|AB|=|A|B|2 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且|A|=|1， 2， 3， 1|=m，|B|=| 1， 2， 2， 3|=n，则| 1， 2， 1+2|为( )（A）m+n（B） m 一 n（C）一 (m+n)（D）n 一 m3 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则(
2、 )（A）当 mn 时，必有|A|0（B）当 mn 时，必有|AB|=0（C）当 nm 时，必有|AB|0（D）当 nm 时，必有|A|=04 设 A，B，A+B，A 一 1+B 一 1 皆为可逆矩阵，则(A 一 1+B 一 1)一 1 等于( )（A）A+B（B） A 一 1+B 一 1（C） A(A+B)一 1B（D）(A+B) 一 15 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (AB)*=A*一 B*（D）(A+B) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） kn
3、A*（C） kn 一 1A*（D）k n(n 一 1)A*7 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=0（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=0（D）若 A 可逆，则 A=E8 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m|O)9 设则m，n 可取( )（A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=210 设则 B 一 1 为( )
4、（A）A 一 1P1P2（B） P1A 一 1P2（C） P1P2A 一 1（D）P 2A 一 1P111 设 Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=0，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=2二、填空题12 设 A，B 都是三阶矩阵，A= 且满足(A *)一 1B=ABA+2A2，则B=_13 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，则 B=_14 15 设 B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 A=0，则 t=_16 设 B0 为三阶矩阵，且 BA=0，则 r(B)=_三、解答
5、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0 18 设 A=(aij)nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：|A|019 计算 D2n=20 计算 (ai0，i=1，2，n)21 设 求 Ak1+Ak2+Akn22 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求22 设 A=E 一 T，其中 为 n 维非零列向量证明：23 A2=A 的充分必要条件是 为单位向量；24 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵24 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向
6、量，b 为常数，25 计算 PQ；26 证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA 一 1b27 设矩阵 A 满足(2E 一 C 一 1B)AT=C 一 1，且求矩阵 A28 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(A)229 设 是 n 维单位列向量，A=E 一 T证明：r(A)n30 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y22 一 2y32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= 求此二次型考研数学三（线性代数）模拟试卷 61 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数2
7、 【正确答案】 D【试题解析】 | 3， 2， 1， 1+2|=|3， 2， 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =一|1， 2， 3， 1|一| 1， 2， 3， 2| =一| 1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3|=n 一 m，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是|AB|=0，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) 1B(A1+B 一 1
8、)=(A+B)A11(BA1+E)=(BA1+E)1(BA1+E) =E，所以选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=|AB|(AB)1=|A|B|B 一 1A1=|B|B 一 1|A|A 1=B*A*，所以选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA) *=kn 一 1A*，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(E 一 A)=0，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E 一 A)=n，若 A
9、可逆，则 r(A)=n，所以 r(E 一 A)=0，A=E，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)= =mn ，所以方程组 AX=b 有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n= 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1= =E12，P 2= =E13，且 Eij2=E，P 1mAP2n=P1AP2，则m=3，n=5即选(B)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=
10、AP2P1，所以 B 一 1=P2 一1P1 一 1A 一 1 或 B 一 1=P1 一 1P2 一 1A 一 1，注意到 Eij 一 1=Eij，于是 B 一 1=P2P1A 一 1 或B 一 1=P1P2A 一 1，选(C) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ=0 得 r(P)+r(Q)3，当 t6时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 |A|=一 3，A *=|A|A 一 1=一 3A 一 1，则(A *)一 1B=ABA+2A2 化为=
11、ABA+2A2，注意到 A 可逆，得 =BA+2A 或一 B=3BA+6A，则 B=一 6A(E+3A)一 1，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA 一 8E，得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A于是一 2B=2AB 一 8E，(A+E)B=4E ，所以 B=4(A+E)一 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 =E12，因为 Eij 一 1=Eij，所以 Eij2=E，于是【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=0，所以 r(A
12、)+r(B)3，从而r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 BA=0 r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 B0，所以 r(B)=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得|A| 2=1，因为|A|0，所以 |A|=一 1 由|E+A|=|A TA+A|=|(AT+E)A|=|A|AT+E|=一|A T+E| =|(A+E)|T=一|E+A| 得|E+A|=0【知识模块】 线性代数18 【正
13、确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则|A|=a k1Ak1+ak2Ak2+aknAkn=ak12+ak22+akn20【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 D 2n=a2D2n 一 2b2D2n 一 2=(a2b2)D2n 一 2=(a2b2)n【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 =a1a2an 一 1+an(a1a2an 一 2+an 一 11Dn 一 2)=a1a2an 一 1+a1a2an 一 2an+an 一 11Dn 一2= +anan 一 1a2(1+a1)=a1a2an【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 |A
14、|=(一 1)n+11n!得A*=|A|A 一 1=(一 1)n+1n!A 一 1，所以 Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由|B|=123=2 得 3=1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 一 1 的特征值为 ，则|(A+E) 一 1|= 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为，即为 2，1，2，于是|B *|=4，|(2B) *|=|4B*|=43|B*|=256，故【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 T=k，则 A2=(E 一 T)(E 一 T
15、)=E 一 2T+kT，因为 为非零向量，所以 T0，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T=|2，所以A2=A 的充要条件是 为单位向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(EA)=n，因为 E 一A=T0，所以 r(E 一 A)1，于是 r(A)n 一 1n ，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 |PQ|+|A| 2(b 一 aTA 一 1)，PQ 可逆的充分必要条件是 |PQ|0，即TA1b【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(
16、2E C1B)AT=C 一 1，得 AT=(2E 一 C 一 1B)一 1C1=C(2E 一 C1B)一 1=(2CB)一 1，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r()=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 2=(E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+T T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 A(E 一 A)=0 得 r(A)+r(E 一 A)n，又由 r(A)+r(E一 A)rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(E 一 A)=n因
17、为 E 一 A=T0，所以 r(E 一A) =r(T)=r()=1，故 r(A)=n 一 1n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22 一 2y32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 2由|A|= 123=一 2 得 A*的特征值为 1=2=一 2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=一 2 的特征向量，令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x1+x3=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为 2= 令 P=(2， 3， 1)=，得所求的二次型为 f=XTAX=一x32+x22 一 x32 一 3x1x2【知识模块】 线性代数
