1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 四阶行列式 的值等于（ ）（A）a 1a2a3a4b1b2b3b4（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4（C）（ a1a2b1b2）（a 3a4b3b4）（D）（a 2a3b2b3）（a 1a4b1b4）2 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；AE 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设则必有（ ）（A）AP 1P2=B（B）
2、AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B4 向量组 1=（1，3，5，1） T， 2=（2，1，3，4） T， 3=（6，4，4，6）T， 4=（7，7，9，1） T， 5=（3，2，2，3） T 的极大线性无关组是（ ）（A） 1， 2， 5（B） 1， 3， 5（C） 2， 3， 4（D） 3， 4， 55 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则（ ）（A）无法确定方程组是否有解（B）方程组有无穷多解（C）方程组有唯一解（D）方程组无解6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性
3、方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（ ）（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是（ ）（A）（B） A+2（C） A2 一 A（D）A 2+2A38 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中A 2； P1AP；A T； 肯定是其特征向量的矩阵个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（
4、D）49 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若 P=（ 1，2 3， 2），则 P1AP=（ ）10 关于二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（ ）（A）是正定的（B）其矩阵可逆（C）其秩为 1（D）其秩为 211 已知实二次型 f=（a 11x1+a12x2+a13x3） 2+（a 21x1+a22x2+a23x3）2+（a 31x1+a32x2+a33x3） 2 正定，矩阵 A=（a ij） 33，则（ ）（A）A 是正定矩阵（B） A 是可逆矩阵（C） A 是不
5、可逆矩阵（D）以上结论都不对二、填空题12 在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= 则平面曲线与 x 轴的交点坐标是_。13 已知 2CA2AB=CB，其中 A= 则C3=_。14 已知 矩阵 X 满足 A*X=A1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_。15 设 B 是三阶非零矩阵，且 AB=0，则 a=_。16 如果 =（1，2，t） T 可以由 1=（2，l，1） T， 2=（1，2，7）T， 3=（1，1，4） T 线性表示，则 t 的值是_。17 方程组 有非零解，则 k=_。18 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性
6、无关的解，则 Ax=b 的通解为 _。19 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_。20 设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 ExxT 的秩为_。21 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+ 5A6E，且 kE +A 是正定阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 计算 n 阶行列式 ，其中 。23 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag（1，1，1，8），且 ABA1=BA1+3E，求 B。24 设向量组（）：b 1，b r 能由向量组（）：a 1，a s 线性表示为 （b 1，b r）=（a 1，a s）K
7、，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组（）线性无关。证明向量组（）线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r（K）=r。25 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C。26 设 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k2+k2+ks=1。证明 x=k11+k22+kss 也是方程组的解。27 设矩阵 A= 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P1AP=A。28 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （）求 A的所有特征值与特征向量；（）求矩阵 A。29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=2（a
8、 1x1+a2x2+a3x3） 2+（b 1x1+b2x2+b3x3） 2，记（）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+ T；（）若， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。考研数学三（线性代数）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将此行列式按第一行展开，=（a 1a4b1b4）（a 2a3b2b3），所以选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有（AE）B=A。若 A 可逆，则|（AE ）B|=|AE|B|=|A|0，所以|B|0，即
9、矩阵 B 可逆，从而命题正确。同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题正确。因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。对于命题，用分组因式分解，即ABAB+E=E，则有（AE）（BE）=E ，所以得 AE 恒可逆，命题正确。所以应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第
10、一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行变换，有（ 1， 2， 3， 4， 5）可见秩r（ 1， 2， 3， 4， 5）=3。又因为三阶子式 所以 2， 3， 4是极大线性无关组，所以应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。【知识模块】
11、 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*0可知，A *中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个 n1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r（A ）n1。又因Ax=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r（A ）n ，从而 r（A）=n1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2一 3A=0。故 （A+ 3E） （A 2一 A）=0=0（ A2A）。因为 ，A，A 2线性无关，必有 A2一 A0，所以 A2一 A是矩阵 A+3E 属于特征值 =0的特征向
12、量，即矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。所以应选 C。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=A，0，有 A2=A（A ）=A=A 2，即 必是 A2 属于特征值 2 的特征向量。又 A 属于特征值 1 的特征向量。关于 和则不一定成立。这是因为（P 1 AP）（P 1） =P1A=P1，按定义，矩阵 P1AP 的特征向量是 P1。因为 P1与 不一定共线，因此 不一定是 P1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组（E A）x=0 与（E 一 AT）x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。所以应选
13、B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A（ 2）=3（ 2），即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量时， 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量。当 P1AP=时，P 由 A 的特征向量构成， 由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，2，故对角矩阵 应当由 1，3，2 构成，因此排除选项 B、C 。由于23 是属于 =2 的特征向量，所以2 在对角矩阵 中应当是第二列，所以应选A。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解
14、析】 二次型的矩阵 所以 r（A）=1 ，故选项 C 正确，而选项 A，B，D 都不正确。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 f=（a 11x1+a12x2+a13x3） 2+（a 21x1+a22x2+a23x3）2+（ a31x1+a32x2+a33x3） 2=xTATAx=（Ax） T（Ax）。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f 0 的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A是可逆矩阵。所以选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 （2，0），（3，0）【试题解析】 曲线 与 x 轴（即 y=0）的交点为方程组的
15、解，行列式 为范德蒙德行列式，即有=（32）（x2）（x3）=0，解得 x=2 或 3，故曲线与 x 轴的交点坐标为（2，0），（3，0）。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA2AB=CB，得 2CAC=2ABB，因此有 C（2AE）=（2A E） B。因为 可逆，所以 C=（2AE ）B （2AE ） 1，于是 C3=（2AE）B 3（2A E） 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=|A|E 代入已知矩阵方程，得|A|X=E+2AX，移项可得（|A|E2A）X=E，因此 X=（|A|E 2A） * 。已知|A
16、|=4，所以 X=（4E2A） 1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=0，则有 r（A）+r（B）3，又已知矩阵 B0，因此r（B）1，那么 r（A） 3，则行列式|A|=0。而所以 a=【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x22+x33=有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t5=0，即 t=5。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方
17、程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 =12（k+1）=0 ，因此得 k=1。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1+k1（ 21）+k 2（ 31），k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则21， 31 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr（A）=2 ，故21， 31 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1（ 21）+k2（ 31），k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1【试题解析】 A 的特征多项式为所以矩阵 A 的特征值是1，且为三重特征值，但
18、是 A 只有两个线性无关的特征向量，故 r（EA）=1，因此 a=1。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 ExxT 的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r（Exx T）=2。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A32A25A+6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3225+6=0，将其因式分解可得 3225+6=（1）（+2）（3）=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，2，3，故 kE +A 的特征值分别为
19、k+1，k 2，k+3，且当 k2 时，kE +A 的特征值均为正数。故 k2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 令 则将该行列式按第一行展开得 Dn=（+ ）D n1再将上式中后面的 n1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=（+）D n1Dn2，则 DnDn1=（D n1Dn2）=2（D n2Dn3）= n2（D 2D1）= n2（ 2+2）（+）= n，即 D naDn1=n，（1）类似地，有 D n3Dn1=n，（2）（1）（2） 可得（）D n=n+1n+1，所以 Dn=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 在 A*=|A|A
20、1 两端取行列式可得|A *|=|A|4|A1|=|A|3，因为A*=diag（1，1，1，8），所以|A *|=8，即|A|=20 由 ABA1=BA1+3E 移项并提取公因式得，（AE）BA 1=3E，右乘 A 得（AE）B=3A ，左乘 A1 得（EA 1）B=3E 。由已求结果 |A|=2，知因此 B=3（EA 1） 1=diag（6，6，6，1）。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 必要性：令 B=（b 1，b r），A=（a 1，a s），则有B=AK，由定理 r（B）=r（AK）min r（A），r（K ），结合向量组（）：b1，b 2，b r 线性无关知 r（B=r ，故
21、 r（K）r。又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有r（K） minr，s。且由向量组（ ）：b 1，b 2，b r 能由向量组（）：a1，a 2，a s 线性表示，则有 rs，即 minr，s=r。综上所述 rr（K ）r，即r（K） =r。充分性：已知 r（K）=r ，向量组（）线性无关，r（A ）=s，因此 A的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK=由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB） = =r（K），即 r（B ）=r（K）=r，因此向量组（）线性无关。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系
22、数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当 a=1，b=0时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为（其中 c1，c 2 为任意常数）。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有Ai=b（i=1 ，s ）。 因为 k1+k2+ks=1，所以 Ax=A（k 11+k22+kss） =k1A1+k2A2+ksAs =b（k 1+ks）=b， 由此可见 x 也是方程组的解。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=4，=y是 A 的特征值。因为 =4 是 A 的特征值，
23、所以解得 x=4。又因为相似矩阵的行列式相同， =100， |= 20y，所以 y=5。当 =5 时，解方程（A5E）x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当 =4 时，解方程（A+4E）x=0，得特征向量 单位化得：p 3= 令 P=（p 1，p 3，p 2）=则 P1AP=A。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 即特征值 1=1， 2=1 对应的特征向量为 又由 r（A）=23 可知，A有一个特征值为 0。设 3=0 对应的特征向量为是特征值 0 对应的特征向量。因此 k11，k 22，k 3 是依次对应于特征值1，1，0的特征向量，其中 k1，k 2，k 3
24、为任意非零常数。（）令【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）f（x 1，x 2，x 3）=2（a 1x1+a2x2+a3x3） 2+（b 1x1+b2x2+b3x3） 2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+ T。（）设 A=2T+ T，由于|=1， T=T=0，则 A=（2 T+T）=2| 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；Ap=（2 T+T）=2 T+| 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。而矩阵 A 的秩 r（A）=r （ 2T+ T）r（2 T）+ r（ T）=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为2y12+y22。【知识模块】 线性代数
