1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=0，则|B+E|= （ ）（A）6（B） 6（C）（D）2 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且（A+B） 2=E，则（E+BA 1） 1=（ ）（A）（A+B ）B（B） E+AB1（C） A（A+B）（D）（A+B ）A3 已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r（A *）=1，则 a=（ ）（A）3（B） 20（C） 1（D）1 或 34 设 1=（1，2，3，1） T， 2=（3，4，7，1） T， 3=（2，6，a ，
2、6）T， 4=（0，1，3，a ） T，那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的（ ）（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件5 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（ ）（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关6 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则（ ）（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m
3、=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解7 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A ）=3， 1=（1，2，3，4） T， 2+3=（0，1，2，3） T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=（ ）8 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，1，则下列选项中不正确的是（ ）（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似（C）矩阵 A 属于 1 与1 的特征向量相互正交（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成9 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的（
4、 ）（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非充分也非必要条件10 下列矩阵中 A 与 B 合同的是（ ）二、填空题11 设 A 为奇数阶矩阵，且 AAT=ATA=E。若|A|0 ，则|AE|=_。12 设 B=（E+A） 1（EA），则（E+B） 1_。13 设矩阵 则 A3 的秩为_ 。14 已知 r（ 1， 2， s）=r （ 1， 2， s， ）=m ，r（ 1， 2， s， ）=m+1，则 r（ 1， 2， s，）=_。15 已知方程组 有无穷多解，则 a=_。16 已知齐次线性方程组有通解 k1（2，1，0，1） T+k2（3，2，1，0） T，则方程
5、组的通解是_。17 设 A= 有二重特征根，则 a=_。18 设 =（1，一 1，a） T，=（1，a ，2） T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_。19 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（a 1x1+a2x2+a3x3）（b 1x1+b2x2+b3x3）的矩阵为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 求 An。21 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A+为 A 的伴随矩阵，证明：（A *） T=（A T） *。22 设向量组 1=（a，0，10） T， 2=（2，1，5） T， 3=（一 1，1，4）T， =（
6、 1，b ，c） T，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， （） 可由 a1，a 2，a 3线性表出，且表示唯一； （） 不可由 a1，a 2， a3 线性表出； （） 可由a1，a 2，a 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。23 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中（）当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；（）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。24 设四元齐次线性方程组（1）为 而已知另一四元齐次线性方程组（2）的一个基础解系为 1=（2，1，a+2，1） T， 2=（1，2，4，a+8） T（）求方程组（1）的一个基础解系；（ ）当 a 为何值时，方程组
7、（1）与（2）有非零公共解？并求出所有非零公共解。25 设矩阵 A= 行列式|A|= 1，又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为 =（1，1，1） T，求 a，b，c 及 0 的值。26 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= 求 a，b 的值及矩阵P，使 P1AP=B。27 设 A= 且存在正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （1，2，1） T，求 a，Q。28 设二次型 f=x12+x22+x324x1x24x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 3y12+3y22+ by32，求 a，b 的值及所用正交变换。29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=ax
8、 12+ax22+（a1）x 32+2x1x32x2x3。 （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （）若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。考研数学三（线性代数）模拟试卷 70 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A（B+E）+（B+E）=E，即（A+E）（B+E）=E，两边取行列式，由行列式乘法公式得|A+E|B+E|=1，因此选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 （E+BA 1） 1=（AA 1+BA1） 1=（A+B ）
9、A 11=（A 1） 1（A+B） 1=A（A+B），所以应选 C。注意，由（A+B） 2=E，即（A+B）（A+B）=E，按可逆矩阵的定义知（A+B） 1=（ A+B）。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 伴随矩阵秩的公式为所以 a=1 或 3 时，均有 r（A *）=1。因此应选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量的线性相关性一般用行列式| 1， 2， n|是否为零判断。因为| 1， 2， 3， 4|=当 a=8 时，行列式| 1， 2， 3， 4|=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式| 1，
10、 2， 3， 4|=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故 r（）r （）s 。又因为当 rs 时，必有 r（ ）r ，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r（A）=r=m。由于r（A|b）m=r，且 r（A|b）minm ，n+1=minr，n+1=r，因此必有 r（ A|b）=r，从而 r（A）=r（A|b），此时方程组有解，所以应选 A。由 B、 C、D 选项
11、的条件均不能推得“两秩”相等。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知 21（ 2+3）=（2， 3，4，5） T 是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，1，所以矩阵 AE 的特征值是1，0，2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆。因为矩阵 A+E的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。（或由 AA A +EA +E 而知 A+E 可相似对角化）。由矩阵 A 有一个特征值等于 0 可知
12、r（A）=2 ，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 n 一 r（A）=32=1 个解向量构成。选项 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅线性无关并不一定正交。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B，故|AEB|=|AEP 1AP|=|P1（EA）P|=|P 1|EA|P|=|EA|，即 A 与 B 有相同的特征值。但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似。例如虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于r（A）r（B），A，B 不可
13、能相似。所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 合同的定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是： r（A ）=r（B）且行列式|A|与|B|同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为1，2，2，因此 xTAx 与XTBx 正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。
14、【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A（EA T）|=|A|EA T|=|A|EA| 。由AAT=ATA=E，可知|A| 2=1，因为|A|0，所以|A|=1 ，即|AE|=|E A|。又 A 为奇数阶矩阵，所以|E A|=|（AE）|= 一|A E|=|EA|，故|AE|=0。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 B+E=（ E+A） 1 （EA）+E=(E+A) -1(EA)+(E+A)-1(E+A)=(E+A)-1(EA)+(E+A)=2（E+A） -1，可得（E+B） 1=【知识模块】 线性代数13 【正
15、确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r（A 3）=1 。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 m+1【试题解析】 已知 r（ 1， 2， s）=r（ 1， 2， s，）=m ，表明向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示，但是 r（ 1， 2， s，）=m+1，则表明向量不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得（ 1， 2， s， ，）=（ 1， 2， ， s，0， ），因此可得 r（ 1， 2， s，）=m+1。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是
16、 r（A）= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r（A）= n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r（A）=2 ，所以 62a=0，即 a=3。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 k（13，3，1，5） T，k 为任意常数【试题解析】 方程组（2）的通解一定会在方程组（1）的通解之中，且是方程组（1）的通解中满足（2）中第三个方程的解，将（1）的通解代入（2）的第三个方程，得（2k 1+3k2）2（k 1+2k2）+0k 2+k1=0，即 5k1=k2，将其代入（1）的通解中，得方程组（2）的通解为 5k2（ 2，1，0， 1） T+k2（3，2，1，0） T=k2（13，3，1，5） T，
17、k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2 或【试题解析】 |EA|= =（ 2） 22A2（a2） =0 。如果 =2 是二重根，则 =2 是 222（a2）=0 的单根，故 a=2。如果 222（a2 ）=0 是完全平方，则有=4+8（a2 ）=0，满足 =1 是一个二重根，此时 a=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k（1，1，1） T，k0【试题解析】 令 B=T，则矩阵 B 的秩是 1，且 =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1
18、。于是 B= （ T）=a（ T）=2， 即 a=（1，1，1） T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 f（x 1，x 2，x 3）=（a 1x1+a2x2+a3x3）（b 1x1+b2x2+b3x3）所以原二次型矩阵为【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 首先观察下面用数学归纳法证明此结论成立：当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时，A k+1=AkA= k2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】
19、因为 A 可逆，所以|A|=|A 1|，且 AA1=E。 在 AA1=E 两边同时取转置可得（A 1） TAT=E，即（A T） 1=（A 1） T，所以 （A *） T=（|A|A 1）T=|A|（A 1）T=|A T|（A T） 1=（A T） *。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 考虑线性方程组 k11+k22+k33=， （1）记其系数矩阵A=（ 1， 2， 3）。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即（）当 a10 时，r （ A）=r （A，）=3，此时方程组（1）有唯一解， 可由1， 2， 3 唯一地线性表出。（）当 a=10，且 c3b1 时，可知 r（A）r（A ，
20、），此时方程组（1）无解， 不可由 1， 2， 3 线性表出。（）当 n=10，且 c=3b1 时，可知 r（A）=r（A ， ）=2，此时方程组（1）有无穷多解，其全部解为 k1= k2=l，k 3=bl，其中 l 为任意常数。 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为+ l2+（bl） 3，其中 l 为任意常数。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D n=（n+1）an。（）当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n1，所以方程组有无穷
21、多解，其通解为 x=（0 ，1，0） T+k（1，0，0） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有则 nr（A）=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x3，x 4 为自由变量，得 1=（5，3，1，0）T， 2=（3， 2，0，1） T 是方程组（1）的基础解系。（）设 是方程组（1）与（2）的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为0 的常数。由 k11+k22l11l22=0，得齐次方程组对方程组（3）的系数矩阵作初等行变换，有当a1 时，方程组
22、（3）的系数矩阵变为 可知方程组（3）只有零解，即 k1=k2=l1=l2=0，于是 =0，不合题意。当 a=1 时，方程组（3）系数矩阵变为 解得 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2。于是=（l 1+4l2） 1+（l 1+7l2） 2=l11+l22。所以当 a=一 1 时，方程组（1）与（2）有非零公共解，且公共解是 l1（2，1，1，1） T+l2（1，2，4，7） T，l 1，l 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 AA *=|A|E=E。对于 A*=0，用 A 左乘等式两端，得（1）一（3）得 0=1。将 0=1 代入（2）和（1），得 b=3，a=c
23、。由|A|=1 和a=c，有 =a3=1，即得 a=c=2。故 a=2，b=3，c=2， 0=1。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 AB，得 解得 a=7，b=2。由矩阵 A 的特征多项式|E A|= =245，得 A 的特征值是 1=5， 2=1。它们也是矩阵 B 的特征值。分别解齐次线性方程组（5E A）x=0，（EA ）x=0，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=1 的特征向量依次为 1=（1，1）T， 2=（2，1） T 。分别解齐次线性方程组（ 5EB）x=0，（EB ）x=0 ，可得到矩阵 B 的属于 1=52=1 的特征向量分别是 1=（7，1） T， 2=（1，1
24、）T 。令 P1= ，则有 P11AP1= =P21P2。取P=P1P21= ，即有 P1AP=B。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 按已知条件，（1，2，1） T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是1，那么知矩阵 A 的特征值是 2，5，4。对 =5，由（5EA）x=0 得基础解系2=（1，1，1） T。对 =4，由（4EA）x=0 得基础解系 2=（1，0，1）T。因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化2， 3，即【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故A 与 B 不仅合同而且相似。由 1
25、+1 +1=3+3+b 得 b=3。对 =3，则有|3EA|=2（a +2） 2=0，因此 a=2（二重根）。由（3EA ）x=0，得特征向量 1=（1，1，0） T， 2=（1，0，1） T 。由（3EA）x=0，得特征向量 3=（1，1，1） T。因为 =3 是二重特征值，对 1， 2 正交化有1=1=（1，1，0） T， 2=2（1，1，2） T 单位化有经正交交换 x=Cy，二次型化为 3y12+3y223y32。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）二次型的矩阵为=（a）（ a）（a+1）2=（a ）（ a+2）（ a1），所有特征值是1=a， 2=a2， 3=a+1。（ ）若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于 a2a a+1，所以 a2=0，即 a=2。【知识模块】 线性代数
