1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是（ ）（A）A+B 是对称矩阵（B） AB 是对称矩阵（C） A*+B*是对称矩阵（D）A2B 是对称矩阵2 （A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P33 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+2+（ ）（A）线性无关（B）线性相关（C）既线性相关又线性无关（D）不确定4 已知 1=（1，1，1） T， 2=（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0
2、的解向量是（ ）（A）（1，1，3） T（B）（ 2，1，3） T（C）（ 2，2，5） T（D）（2，2，6） T5 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）ATAx=0，必有（ ）（A）（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1 ）的解（B）（ 1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解（C）（ 2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解（D）（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（ 2）的解6 已知 a=（1，2，3） T 是矩阵 A= 的特征向量，则（ ）（A）a= 2， b=6（B） a=2，b=6（C） a=2，b=6（
3、D）a= 2， b=67 已知 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（A）AE（B） 2AE（C） A+2E（D）A4E8 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）9 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）二、填空题10 设 n 阶矩阵 A= 则|A|=_。11 如果 A= （B+E ），且 B2=E，则 A2=_。12 13 已知 n 阶矩阵 则 r（A 2A）=_。14 已知向量组 1= 的秩为 2，则 t=_。15 设 A= A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。16 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似，则 a=_。17 已
4、知 A= 有三个线性无关的特征向量，则 x=_。18 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy，其中 B= 则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 n 阶矩阵 A= 证明：行列式 |A|=（n+1）a n。20 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。（）计算并化简 PQ；（）证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是TA1b。21 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置。证明：r（ A）2。22
5、已知 m 个向量 1， m 线性相关，但其中任意 m1 个向量都线性无关，证明：（）如果等式 k11+kmm=0 成立，则系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零；（）如果等式 k11+kmm=0 和等式 l11+lmm=0 都成立，则其中 l10。23 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1， nr+1，是它的 nr+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k11+knr+1+nr1，其中k1+knr+1=1。24 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。（）求 ，a；（）求方程组 Ax=b 的通解。25 已知方程组 的一个基础解系为（b 11，b
6、 12，b 12n ） T，（b 21，b 22，b 2，2n ）T， ，（b n1，b n2，b n，2n ） T。试写出线性方程组的通解，并说明理由。26 设矩阵 A 与 B 相似，且 A= 求可逆矩阵P，使 P1AP=B。27 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若1=（1，1，0） T， 2=（ 2，1，1） T， 3=（1，2，3） T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。28 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
7、成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x TAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第三列为 （）求 A；（）证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 （A+B） T=AT+BT=A+B，（kB ） T=kBT=kB， 所以有 （A2B） T=AT（2B T）=A2B， 从而选项 A、D 是正确的
8、。 首先来证明（A *） T=（A T） *，即只需证明等式两边（ i，j）位置元素相等。（A *） T 在位置（i，j）的元素等于 A*在（j，i）位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij。而矩阵（A T） *在（i，j）位置的元素等于 AT 的（j， i）位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aji=aij，则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij。从而（A *）T=（A T） *=A*，故 A*为对称矩阵，同理， B*也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项C 是正确的。 因为（AB） T=BTAT=BA，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，A
9、B 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。 所以应选 B。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应 排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而 P2P3A 正是后者，所以应选 B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1=（1，1）， 2=（0，2），=（1，1），则 1， 2线性无关，而 1+=（0，0）与 2+=（1，
10、1）线性相关。如果设 =（0，0），那么 1+ 与 2+ 却是线性无关的。故选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解。由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1， 2 线性表示，也即方程组 x11+x22= 必有解，而可见第二个方程组无解，即（2，2，5） T 不能由 1， 2 线性表示。所以应选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是（ 1）的解，有 A=0，可得 ATAa=AT（A）=A T0
11、=0，即 是（2）的解。故（1）的解必是（ 2）的解。反之，若 是（2）的解，有ATA=0，用 T 左乘可得 0=T0=T（A TA）=（ TAT）（A）= （A） T（A），若设 A=（b 1，b 2， bn），那么（A） T（A）=b12+b22+bn2=0 bi=0（i=1，2，n ）即 Aa=0，说明 是（1）的解。因此（2）的解也必是（1）的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有 所以 =4，a=2，b=6，故应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是
12、1，1，2，4，所以 |A*|=8，又|A *|=|A|41，因此|A| 3=8，于是|A|=2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1， 。因此，AE 的特征值是一 3，1，一 2， 。因为特征值非零，故矩阵 AE 可逆。同理可知，矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项 C 是秩为 1 的矩阵，由 |EA|=342，可知矩阵的特
13、征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r（0EA ）=r（A ）=1 可知齐次方程组（0E A）x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次线性方程组（EA ）x=0 只有 32=1 个线性无关的解，即 =1 时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0。在选项 D 中，由于 a33=0，易知f（0
14、， 0，1）=0，与 x0，x TAx0 相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 2= 在选项 B 中，三阶主子式 3=|A|=1。因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵。故选 C。【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 2（n2）!【试题解析】 把第二行所有元素乘以1 加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以 2 加到第二行相应的元素上，可得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= （B+E）且 B2=E，则 A2=即 A2=A。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 |A|=1，
15、|B|=（21）（31）（3 2）=2，所以 A，B 均可逆，则也可逆。由 A*A=AA*=|A|E 可得|A *|=|A|21=1，同理可得|B *|=|B|31=4，且【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2A=A（AE），且矩阵 可逆，所以 r（ A2A）=r（ AE），而 r（AE ）=1 ，所以 r（A 2A）=1 。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得t=2。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k 1（1，4，7） T+ k2（2，5，8） T，k 1，k 2 为任意常数【试题解
16、析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以|A|=0，且 r（A *）=1。再由 A*A=|A|E=0可知 A 的列向量为 A*x=0 的解，因此 A*x=0 的通解是 k1（l，4，7）T+k2（2，5，8） T，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【试题解析】 因为|EA|=（ 一 2）（一 3） 2，所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即（3EA ）x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1。可见 a=2。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0【试题解析】
17、 由 A 的特征方程|EA|= =（ 一 1）（ 21）=0 ，可得 A 的特征值是 =1（二重），= 1。因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r（EA ）=32=1 ，根据EA= 得 x=0。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2【试题解析】 合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=xTAx 的正、负惯性指数均为 1 可知，矩阵 B 的秩 r（B） =2，从而有|B|=一（a1）2（a+2 ）=0 。若 a=1，则 r（B）=1 ，不合题意，舍去。若 a=2，则由得 B 的特征值为0，3，3，此时正、负惯性指数均为 1。【知
18、识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 消元法。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 （）由 AA*=A*A=|A|E 及 A*=|A|A1 有（）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有=|A|2（ba TA1）。因为矩阵 A 可逆，行列式|A|0，故|Q|=|A|（b TA1）。由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 bTA 10，即 TA1b。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 r（A）=r（ T+T） r（ T） +r（ T） r（ ）+r （） 2。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 （）假设存在某个 ki=0，则由 k1
19、1+kmm=0 可得k11+ki1i1+ki+1i+1+kmm=0。 （1）因为任意 m1 个向量都线性无关，所以必有 k1=ki1=ki+1=km=0，即系数 k1，k m 全为零。所以系数k1，k m 或者全为零，或者全不为零。（ ）由（ ）可知，当 l10 时，系数l1，l m 全不为零，所以又因为任意 m1 个向量都线性无关，所以 +km=0，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， nr+1 线性无关且均为 Ax=b 的解。 取 1=21， 2=31， nr=nr+11，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解
20、。 下面用反证法证： 设1， 2， nr 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l nr 使得 l11+l22+lnrnr=0， 即 l 1（ 21）+l 2（ 31）+l nr（ nr+11）=0， 也即 一（l 1+l2+lnr） 1+l12+l23+lnrnr+1=0。 由 1， 2， nr+1 线性无关知 一（l 1+l2+lnr）=l 1=l2=lnr=0， 这与 l1，l 2，l nr 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1， 2， nr 线性无关，是 Ax=0 的基础解系。 由于x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x1 为 Ax=0 的解，因此 z1 可由 1， 2， nr
21、 线性表示，设 x 1=k21+k32+knr+1nr =k2（ 21）+k 3（ 31）+k nr+1（ nr+11）， 则 x=1（1k 2k3knr+1）+k 22+k33+knr+1nr+1， 令 k1=1k2k3knr+1，则 k1+k2+k3+knr+1=1，从而 x=k 11+k22+knr+1nr+1 恒成立。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r（A）=n。于是 =2，此时线性方程组无解。当 A=1 时， =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =1，a=2。（）当 =1，a= 2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为
22、+k（1，0，1） T，其中 k 是任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题意可知，线性方程组（2）的通解为 y=c1（a 11，a 12，a 1，2n ） T+ c2（a 21，a 22， a2，2n ）T+cn（a n1，a n2，a n，2n ） T，其中 c1，c 2，c n 是任意的常数。 这是因为：设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 ABT=D，因此 BAT=（AB T） T=0， 可见 A 的 n 个行向量的转置为（2）的 n 个解向量。 由于 B的秩为 n，所以（2）的解空间的维数为 2nr（B）=2n 一 n=n，又因为 A 的秩等
23、于 2n 与（1）的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成（2）的一个基础解系。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 A 一 B 有 于是得a=5，b=6。且由 A 一 B，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是1=2=2， 3=6。当 =2 时，解齐次线性方程组（2E A）x=0 得到基础解系为1=（1，1，0） T， 2=（1，0，1） T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。当 =6 时，解齐次线性方程组（6EA）x=0，得到基础解系是（1，2，3） T，即属于 =6 的特征向量。令 P=（ 1， 2， 3）=
24、则有 P1AP=B。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 r（A）=2 知，|A|=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关。设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =（x 1，x 2，x 3） T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系 a=（1，1，1） T。根据A（ 1， 2， ）=（6 1，6 2，0）得 A=（6 1，6 2，0）（ 1， 2， ） 1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由题意得【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）由题意知 QTAQ=，其中 = 则 A=QQT，设Q 的其他任一列向量为（x 1，x 2，x 3） T 。因为 Q 为正交矩阵，所以（x 1，x 2，x 3）即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为1=（1，0，1） T， 2=（0，1，0） T。把 1 单位化得 1= （1，0，1） T，所以（）证明：因为（A+E） T=AT+E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵。又因为 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
