1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 82 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 ABO，则 A 与 B 的秩 【 】（A）必有一个为零（B）均小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）均等于 n2 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为 【 】（A）（B）（C）（D）3 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则 【 】（A）交换 A
2、*第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*第 1 列与第 2 列得B *（D）交换 A*第 1 行与第 2 行得B *4 设 A，B，C 均为，z 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 BEAB，CA CA，则 B C 为 【 】（A）E（B） E（C） A（D）A二、填空题5 设 A ，B 为 3 阶非零矩阵，且 ABO，则 t_6 设矩阵 A 满足 A2A4EO，则(AE) -1_7 设 A 为 n 阶方阵，且Aa0，则A *_8 设 A 为 n 阶非零方阵，且A0，则A *_9 设 (1， 0，1) T，矩阵 A T，n 为正整数，a 为
3、常数，则aEA *_10 设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 T ，则 T_11 设 3 阶方阵 A、B 满足 A*BABE，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若A ，则B_12 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶矩阵，已知 AB2AB，B ，则(A E)-1_13 设矩阵 B ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A2E)与秩(A E)之和等于_14 设矩阵 A ，矩阵 B 满足 ABA*2BA *E ，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B_15 设 A ，BP -1AP，其中 P 为三阶可逆矩阵，则 B20042A 2_16 设 A(a ij)33 是实正交矩阵，且
4、a111，b(1，0，0) T，则线性方程组 Axb的解是_17 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A( 1， 2， 3)，B( 1 2 3， 12 24 3， 13 29 3) 如果 A1，则B _18 求下列行列式的值： (1) _； (2) _19 计算下列行阶行列式： (1) _ ； (2) _； (3)_； (4) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 APPB，其中 求矩阵 A 及 A521 设 n 阶矩阵 A 满足 AATI，其中 I 为 n 阶单位矩阵，且A 0，求AI22 设矩阵 AI T，其中 I 是，n 阶单位矩阵， 是 n 维非零
5、列向量，证明： (1)A2A 的充要条件是 T1； (2)当 T1 时，A 是不可逆矩阵23 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB-124 设 n 阶方阵 A、B 满足 ABAB (1)证明：A E 为可逆矩阵； (2)当 B时，求 A25 设矩阵 A 矩阵 X 满足关系式 AXEA 2X，求矩阵 X26 设 3 阶方阵 A 的逆阵为 A-1 求(A *)-127 已知 3 阶方阵 A(a ij)33 的第 1 行元素为：a 111，a 122，a 131(A *)T其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A2
6、8 已知 3 阶方阵 A 的行列式A2，方阵 B 其中 Aij 为 A 的(i，j) 元素的代数余子式，求 AB29 设矩阵 A ，矩阵 B 满足(A *)-1BA*8A，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B考研数学三（线性代数）模拟试卷 82 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AO，BO，故，r(A)1 ，r(AB)1又 ABO r(A)n，否则 r(A)n，则 A 可逆，有 A-1ABO，即 BO，这与 BO 矛盾，故必有 r(A)n，同理有 r(B)n，故只有 B 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】
7、D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(1，2) B，BE(3，2(1)C， 故有 AE(1，2)E(3，2(1)C， 于是得所求逆矩阵为 所以只有选项 D 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 记交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P，则有PAB，BA，P -1P且由 A 可逆知 B 可逆于是由 B*BB -1得 B* A(PA) -1 (AA -1)P-1A -1P，或 A-1PB *，再由初等列变
8、换与初等方阵的关系知，交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*，因此选项 C 正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 3【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 (A2E)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 a n-1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 a 2(a2 n)【试题解析】 A( T)(T)( T)( T)( T)T2 n-1T aE Aa 2(a2 n)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 3【试题解析】 设 ，则 T ， T a12a 22a 321113【知识模块】 线
9、性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 4【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 由于 ， A 4(A 2)2E，A 2004(A 4)501E 501E 故B2004 2A2P -1A2004P2A 2E2A 2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2【试题解析】 利用矩阵乘法，可将 B 写为 B( 1， 2， 3) 两端取行列式，得B A 122【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)160 ；(2) 10【知
10、识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)(1) n-1(n1) n-2； (2)(1)(2)(n1)； (3) ； (4)n1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 因 P 可逆，得 APBP -1 A5(PBP -1)(PBP-1)(PBP-1)PB 5P-1PBP -1A【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 AIAAA TA(IA T)A IA TA(IA T)TAIA AAI (1A )AI0，又1A0 AT0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)A 2 A (I T)(I T)I T I2 T( T)TI T T(
11、T)TO (T1) TO T1 (2) 当T1 时，A 2A，若 A 可逆，则有 A-1A2A -1A，即 AI， TO，这与TO，矛盾，故 A 不可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因A 0，而BA0，故 B 可逆； (2)记 Eij 是 n阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得的初等方阵，则 BE ijA，因而 A-1A(E ijA)-1AA -1Eij-1E ij【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)由 ABBAO， (AE)B(A E)E ， (AE)(BE)E，即知 AE 可逆； (2)AE(BE) -1 (或 AB(BE) -1)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (AE)XA 2E ，且 AE 可逆 X(AE) -1(AE)(AE)AE 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(A *)T 知A117，A 125，A 134， Aa 11A11a 22A22a 33A331，又由AA*A EE ，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 B 可看作是由 A*交换 1、3 两列得到的， 故 B【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A1(A *)-1 A， 故题设方程即 ABA*BA *8A， 两端右乘 A 并利用 A*AAEE， 得 ABB 8A 2，【知识模块】 线性代数
