1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 98 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设(I)和( )是两个四元齐次线性方程组， (I)的系数矩阵为()的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一1，2，4，a+8) T1 求(I)的一个基础解系；2 a 为什么值时 (I)和( )有公共非零解?此时求出全部公共非零解3 已知齐次方程组(I) 解都满足方程 x1+x2+x3=0，求 a 和方程组的通解4 已知两个线性方程组同解，求m，n，t.5 已知齐次方程组 同解，求 a，b，c6 设齐次方程组(I) 有一个基础解系1=(b11，b 12，b 12n)T，
2、 2(b11，b 22，b 22n)T， n=(bn1，b n2，b n2n)T证明 A 的行向量组是齐次方程组 () 的通解7 构造齐次方程组，使得 1=(1，1，0，一 1)T， 2=(0，2，1，1) T 构成它的基础解系8 设 1,2， ， s， 12， ， t 线性无关，其中 1,2， s 是齐次方程组AX=0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关9 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 Ax=0 的每个解都可以用1， 2， 3 线性表示，并且 r(A)=n 一 3，证明 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系10 n 元非齐次线性方程组
3、 AX= 如果有解，则解集合的秩为 =nr(A)+111 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b 一 2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1,2,3 线性表示； (2) 能用 1,2,3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1,2,3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式12 已知平面上三条直线的方程为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+C=013 设 a，b 取什么值时
4、存在矩阵 X，满足 AXCX=B?求满足 AXCX=B 的矩阵 X 的一般形式14 设 (1)求方程组 AX=0 的一个基础解系(2)a，b，c 为什么数时 AX=B 有解?(3) 此时求满足 AX=B 的通解15 如果 n 阶矩阵 A 的秩 r(A)1，(n 1)，则 A 的特征值为 0，0，0，tr(A)16 设 ， 都是 n 维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T17 已知 =(1，1，一 1)T 是 的特征向量，求 a，b 和 的特征值 18 已知 是可逆矩阵 的伴随矩阵 A*的特征向量，特征值求 a，b19 设 3
5、阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一1，2) T，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A20 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T，求 An21 求 的特征值和特征向量22 求 A 的特征值23 设 求 A 和 A 一 1+E 的特征值24 A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1， 2 线性无关，A 1=1+2，A 2=41+2求 A 的特征值和A24 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2
6、，又 1=(1，2，2) T 和 2=(0，2，1) T 分别是(A 一 E)X=0 的(A+E)X=0 的解25 求 A 的特征值与特征向量26 求矩阵 A26 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且27 求 A 的特征值与特征向量28 求矩阵 A29 设 4 阶矩阵 A 满足 A3=A (1) 证明 A 的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A 还满足 A+2E=8，确定 A 的特征值考研数学三（线性代数）模拟试卷 98 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数1 【正确答案】 把(I)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到
7、(I)的同解方程组对自由未知量 x3，x 4 赋值，得(I)的基础解系 1=(5，一3，1，0) T， 3=(一 3，2，0，1) T【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 () 的通解为 c11+c22=(2c1c2，一 c1+2c2，(a+2)c 1+4c2，c 1+(a+8)c2)T将它代入(I)，求出为使 c11+c22 也是(I) 的解(从而是(I)和()的公共解)，c1，c 2 应满足的条件为： 于是当 a+10 时，必须 c1=c2=0，即此时公共解只有零解当 a+1=0 时，对任何 c1，c 2，c 11+c22 都是公共解从而(I)， ()有公共非零解此时它们的公共非零解也就
8、是() 的非零解：c11+c22，c 1，c 2 不全为 0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 求出(I)的解，代入 x1+x2+x3=0，决定 a用矩阵消元法，设系数矩阵为 A，当 a=0时，(I)和方程 x1+x2+x4=0 同解，以 x2，x 3，x 4 为自由未知量求出一个基础解系1=(一 1，1，0，0) T， 2=(0，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T其中 2， 3 都不是 x1+x2+x3=0，的解，因此 a=0 不合要求当 a0 时，继续对 B 进行初等行变换以 x4 为自由未知量，得基础解系代入 x1+x2+x3=0， 求得a=12即当 a=12 时，
9、适合 x1+x2+x3=0，从而(I)的解都满足 x1+x2+x3=0当a12 时， 不满足 x1+x2+x3=0得 a=12 为所求此时，方程组的通解为 c(一12，一 12，1，1) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 m，n，t 分别在方程组(I)的各方程中，()的系数及常数项中无参数，可先求出() 的一个解(要求 x2 的值不为 0!请读者思考为什么这样要求)，代入(I)的方程，可分别求出 m，n，t求( )的一个特解得(一 2，一 4，一 5，0) T 是()的一个解将它代入 (I)的方程： 得到m=2， n=4， t=6【知识模块】 线性代数5 【正确答案】
10、 本题可以用上例的方法，先求出其中一个方程组的解，代人另一个方程组求参数但是由于两个方程组都有参数，先求一个方程组的解时，参数会使得计算复杂可先从概念上着眼，两个方程组同解可推得它们的系数矩阵的秩相等左边方程组系数矩阵的秩不会小于 2，右边方程组系数矩阵的秩不会大于 2，于是它们的系数矩阵的秩为 2这样参数 a 可先求得，再求左边方程组的解，代入右边方程组求 b，c 下面我们用一个更加简单的方法这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求 a，b，c 于是 a 一 2=0，c 一b 一 1=0，c 一 b2 一 1=0则 a
11、=2，b，c 有两组解b=0，c=1；b=1，c=2可是b=0，c=1 时右边方程组系数矩阵的秩为 1 因此两个方程组不会同解，这组解应该舍去得：a=2，b=1C=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 分别记 A 和 B 为(I)和() 的系数矩阵 (I)的未知量有 2n 个，它的基础解系含有 n 个解，则 r(A)=n，即 A 的行向量组 1,2， n 线性无关 由于1， n 都是(I)的解，有 ABT=(A1，A 2，A n)=0，转置得 BAT=0，即BiT=0，i=1 ， ，n于是， 1,2， n 是()的 n 个线性无关的解又因为r(B)=n，( )也有 2n 个未知量，2nr(
12、B)=n所以 1,2， n 是()的一个基础解系从而() 的通解为 c11+c22+cnn，c 1，c 2，c n 可取任意数【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 所求 AX=0 要满足：4 维向量 是 AX=0 的解 可用 1， 2 线性表示设 =(c1，c 2，c 3，c 4)T，于是 可用 1， 2 线性表示 c2 一 c12c3=0 且 c4+c1c3=0 是齐次方程组 的解这个齐次方程组满足要求【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 用定义法证 设 c1A1+c2A2+ctAt=0则 A(c11+c22+ctt)=0 即 c11+c22+ctt 是 AX=0 的一个解于是它可以用
13、1,2， s 线性表示：c11+c22+ctt=t11+t22+tss，再由 1,2， s， 12， t 线性无关，得所有系数都为 0【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 3，所以 AX=0 的基础解系包含 3 个解设1， 2， 3 是 Ax=0 的一个基础解系，则条件说明 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3=r( 1， 2， 3)r(1， 2， 3； 1， 2， 3) =r(1， 2， 3)3，从而 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3； 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)，这说明 1， 2， 3 和 1， 2
14、， 3 等价，从而 1， 2， 3 也都是 AX=0 的解；又 r(1， 2， 3)=3，即 1， 2， 3 线性无关，因此是 AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 记 s=nr(A)，则本题要说明两点 (1)存在 AX= 的 s+1 个线性无关的解(2)AX= 的 s+2 个解一定线性相关 (1) 设 为(I)的一个解，1， 2， S 为导出组的基础解系，则 不能用 1， 2， S 线性表示， 因此， 1， 2， S 线性无关，+ 1，+ 2，+ S 是(I)的 s+1 个解，并且它们等价于 ， 1， 2， S于是 r( ，+ 1，+ 2，+ s)=r(， 1，
15、2， S)=s+1，因此 ，+ 1，+ 2，+ s 是(I) 的 s+1 个线性无关的解 (2)AX= 的任何 s+2 个解都可用 ， 1， 2， s 这 s+1 向量线性表示，因此一定线性相关【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 记 A=(1,2,3)，则问题化为线性方程组 AX= 解的情形的讨论及求解问题了 (1)a=0(b任意)时 方程组 AX= 无解，不能用 1,2,3 线性表示(2)当 a0，ab 时，r(A )=r(A)=3，方程组 AX= 唯一解，即 可用 1,2,3 唯一表示 AX= 的解为(3)当 a=b0 时 r(A)=r(A)=2 ，AX= 有无穷多解，即 可用 1,
16、2,3 线性表示，且表示式不唯一AX= 有特解 而(0，1，1) T 构成AX=0 的基础解系，AX= 的通解为 即c 任意【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 l 1，l 2，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩 =2记 则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B) ，于是 l1，l 2，l 3 交于一点 r(A)=r(B)=2必要性 由于 r(B)=2，则 B=0计算出B=一(a+b+c)(a 2+b2+c2 一 ab 一 acbc)a，b，c 不会都相等(否则r(A)=1)，即(a 一 b)2+(bc)2+(c 一 a)20得 a+b+c=0充分
17、性 当 a+b+c=0 时，B =0，于是 r(A)r(B)2只用再证 r(A)=2，就可得到 r(A)=r(B)=2用反证法若 r(A)2，则 A 的两个列向量线性相关不妨设第 2 列是第 1 列的 A 倍，则b=a， c=b， a=c于是 3a=a， 3b=b， 3c=c，由于 a，b，c 不能都为 0，得3=1，即 =1，于是 a=b=c再由 a+b+c=0，得 a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵AXXA=B 即x1，x 2，x 3，x 4 是线性方程组： 的解得 a=一 3b=一 2把 a=一 3，
18、b=一 2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为 (一 3，一 2，0，0)T+c2(1， 1，1 ，0) T+c2(1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意则满足 AXCX=B 的矩阵 X 的一般形式为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对 AX=B 的增广矩阵(AB)作初等行变换化为阶梯形矩阵：得到 AX=0 的同解方程组： 求得基础解系：(一 2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T(2)AX=B 有解 r(AB)=r(A)=2，得 a=6，b=一 3，c=3(3)建立 3 个线性方程组，它们的系数矩阵都是 A，常数列依次为 B 的各列则 X 的各列依
19、次是它们的解它们的导出组都是 AX=0，已经有了基础解系(一 2，1，1，0)T， (1，0，0， 1)T，只用再各求一个特解就可得到通解可以一起用矩阵消元法求它们的特解： 于是(32， 32，0，0) T，(一 32，32，0，0) T，(0，1，0，0) T 依次是这 3 个方程组的特解AX=B 的通解为： 其中c1，c 2，c 3，c 4，c 5，c 6 任意或者表示为： 其中 H为任意 23 矩阵【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 r(A)n，所以 0 是 A 的特征值，并且根据定理 54，特征值 0 的重数nr(A)n 一 1即 A 的特征值中至少有 n 一 1 个是 0
20、，另外一个特征值为 tr(A)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 用上例的结论 r(T)1，因此 T 的特征值为0，0，0，tr( T) 设 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T，则 T 的对角线元素为 a1b1，(a 2b2， ，a nbn,二是 tr(T) =(a1b1+a2b2+ +anbn=T 仍记A=T，则 A=T=(T)，因此 是 A 的特征向量，特征值为 T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 A=，得 于是一1=，2+a=，1+b= 一 ，解出 =一 1，a=一 3，b=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 A 可逆知 也是 A
21、的特征向量有 A=0于是可如同上题，求出 a，b 和 0.而 =A 0 于是3+b=0，2+2b= 0b，1+a+b= 0，第 1，3 两式相减 a=2，从而求出A =4由第1，2 两式得 2+2b=(3+b)b，即 b2+b 一 2=0解得解出 b=1 或一 2当 b=1 时，0=4，=1 ，当 b=一 2 时， 0=1，=4【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法求解：【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 把 表示为 1， 2， 3 线性组合，即解方程 x11+x22+x33=，得到 =21 一22+3 线于是
22、An=An(21 一 22+3)=2An12An2+An3=212n+12+3n3=(22n+1+3n，22 n+2+3n+1，2 2n+3+3n+2)T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)特征值的计算可按常规方法计算特征值：求出 A 的特征多项式，求其根得特征值但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值r(A)=1，tr(A)=4 利用特征值的性质直接可得到 A 的特征值为 0，0，0，4(不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即 r(A 一 0E)=1，于是 0 是 A 的特征值，并且其重数 k4一 r(A)=3即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第 4 个特征值为
23、 tr(A)=4)(2)求特征向量属于 0 的特征向量是 AX=0 的非零解AX=0 和 x1+x2+x3+x4=0 同解得 AX=0 的一个基础解系 1=(1，一 1，0，0) T， 2=(1，0，一 1，0) T， 3=(1，0，0，一 1)T属于 0 的特征向量的一般形式为 c11+c22+c33，c 1， c2，c 3 不全为 0属于 4 的特征向量是(A 一 4E)X=0 的非零解得(A一 4E)X=0 的同解方程组 得(A 一 4E)X=0 的基础解系 =(1，1，1，1)T属于 4 的特征向量的一般形式为 c，c0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A+3E 就是一个秩为
24、1 的矩阵了，于是 A=A+3E 一 3E，就容易求特征值了 的秩为 1，因此特征值为0，0，6A 的特征值为一 3，一 3，3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 的特征多项式得到 A 的特征值为1(二重 )和一 5A 一 1 的特征值为 1(二重) 和一 15A 一 1+E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 先找 A 的特征向量由于 1， 2 线性无关，每个 2 维向量都可以用它们线性表示于是 A 的特征向量应是 1， 2 的非零线性组合 c11+c22，由于从条件看出 1 不是特征向量，c 2 不能为 0，不妨将其定为 1，即设 =c1+2
25、是 A的特征向量，特征值为 A，则 A=，A=A(c 1+2)=c(1+2)+41+2=(c+4)1+(c+1)2，则(c+4) 1+(c+1)2=A(c1+2)，得 c+4=ac，c+1= 解得 c=2 或一 2，对应的特征值 A 分别为 3，一 1A=一 3【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 1=(1，2，2) T 是(A E)X=0 的解，即 A1=1，于是 1 是 A 的特征向量，特征值为 1 同理得 2 是 A 的特征向量，特征值为一 1 记3=(1， 1，1) T，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3=(2，2，2) T=23，即 3 也是A 的特征
26、向量，特征值为 2 于是 A 的特征值为 1，一 1，2 属于 1 的特征向量为 c1，c0 属于一 1 的特征向量为 c2，c0 属于 2 的特征向量为 c3，c0 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，一 2，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由条件得 A(1，2，一 1)T=(一 3，一 6，3)，A(1 ，0，1)T=(3，0，3) ，说明(1 ，2，一 1)T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为一 3 和 3A 的秩为 2维数 3，于是 0 也是 A 的特征值A
27、 的特征值为一3，3，0属于一 3 的特征向量为 c(1，2，一 1)T， c0属于 3 的特征向量为c(1， 0，1) T，c0 属于 0 的特征向量和(1，2，一 1)T，(1，0，1) T 都正交，即是方程组 的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c(一 1，1，1)T， c0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 利用 A 的 3 个特征向量，建立矩阵方程求 A用初等变换法解得【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)由于 A3=A，A 的特征值 A 满足 3=，从而 A 只能为 0，1 或一 1(但并非 0，1，一 1 都一定是 A 的特征值!) (2)由 A 的特征值不是 0，1，一1 外的数，得知 A+2E 的特征值不是 2，3，1 之外的数又由于A+2E=8 ，必有 A+2E 的特征值为 2，2，2，1，从而 A 的特征值为 0，0，0，一 1【知识模块】 线性代数
