1、考研数学三（综合）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (91 年 )曲线 y（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线也有铅直渐近线2 (93 年 )设 f() 0sinsin(t2)dt，g() 3 4，则当 0 时，f()是 g()的（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 (98 年 )设周期函数 f()在(，) 内可导，周期为 4，又 1，则曲线yf()在点(5，f(5)处的切线斜率为（A）（B） 0（C） 1（D）24 (97 年 )设在区间 a，b 上
2、 f()0，f() 0，f()0，令 S1 abf()d，S 2f(b)(ba)，S 3 f(a)f(b)(ba) 则（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 15 (97 年 )若 f()f() ，( ) ，在(，0)内 f()0，且 f()0，则在(0 ，)内（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，fv()0（D）f() 0，f ()06 (93 年 )设随机变量 X 的密度函数是 ()，且 ()() ，F() 是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（A）F(a)1 0a()d（B） F(a) 0a()d
3、（C） F(a)F(a)（D）F(a)2F(a) 17 (99 年 )设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（A）PXY0（B） PX Y1（C） PX Y0（D）PXY18 (06 年 )设函数 yf()具有二阶导数，且 f()0f()0， 为自变量 在点0 处的增量， y 与曲分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分，若 r0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy09 (06 年 )设函数 f()在 0 处连续，且 1，则（A）f(0)0 且 f (0)存在（B） f(0)1 且 f (0)存在（C） f(0)0
4、 且 f (0)存在（D）f(0)1 且 f (0)存在10 (05 年) 以下四个命题中正确的是（A）若 f()在(0 ，1)内连续，则 f()在(0，1)内有界（B）若 f()在(0，1) 内连续，则 f()在(0，1)内有界（C）若 f()在(0，1) 内有界，则 f()在(0，1)内有界（D）若 f()在(0 ，1)内有界，则 f()在(0，1)内有界11 (05 年) 设 an0(n1，2，)，若 an 发散， (1) n-1an 收敛，则下列结论正确的是（A）（B）（C）（D）12 (96 年) 设函数 f()在区间( ，) 内有定义，若当 (，) 时，恒有f() 2，则 0 必是
5、 f()（A）间断点（B）连续而不可导的点（C）可导的点，且 f(0)0（D）可导的点，且 f(0)013 (90 年) 已知 f()在 0 某邻域内连续，且 f(0)0， 2，则在点 0 处f()（A）不可导（B）可导且 f()0（C）取得极大值（D）取得极小值14 (01 年) 设 f()的导数在 a 处连续，又 1，则（A）a 是 f()的极小值点（B） a 是 f()的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 yf() 的拐点（D）a 不是 f()的极值点，(a ，f(a)也不是曲线 yf()的拐点15 (99 年) 设 f()是连续函数，F()是 f()的原函数，则（A）当 f()是奇函
6、数时， F()必是偶函数（B）当 f()是偶函数时，F()必是奇函数（C）当 f()是周期函数时，F()必是周期函数（D）当 f()是单调增函数时， F()必是单调增函数16 (96 年) 设 f()处处可导，则（A）当 f()时，必有 f() （B）当 f()时，必有 f()（C）当 f()时，必有 f()（D）当 f()时，必有 f() 17 (96 年) 设 f()有连续导数，f(0)0，f(0)0 ， F() 0(2t 2)f(t)dt，且当 0 时，F()与 k 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）418 (87 年) 设 f()在 a 处可导，则 等于（A）
7、f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)19 (91 年) 若连续函数 f()满足关系式 f() ln2 ，则 f()等于（A）e 2ln2（B） e2ln2（C） eln2（D）e 2ln220 (95 年) 设 f()和 ()在( ，)内有定义，f()为连续函数，且 f()0，()有间断点，则（A）f() 必有间断点（B） ()2 必有间断点（C） f()必有问断点（D） 必有间断点21 (93 年) 若 f()f() ，在(0，) 内，f() 0，f() 0，则 f()在(， 0)内（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f()
8、0，f ()022 (96 年) 设 f(0)f( 0)0，f( 0)0，则下列选项正确的是（A）f( 0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极大值（C） f(0)是 f()的极小值（D）( 0，f( 0)是曲线 yf()的拐点23 (98 年) 设 f()连续，则 tf(2t 2)dt（A）f( 2)（B） f(2)（C） 2f(2)（D）2f( 2)24 (94 年) 设函数 f()在闭区间a，b 上连续，且 f()0，则方程 af(t)dt 0在开区间(a，b)内的根有（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个25 (03 年) 设 f()为不恒等于零的奇函数，且
9、 f(0)存在，则函数 g()（A）在 0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 0（C）在 0 处右极限不存在（D）有可去间断点 026 (99 年) 设 A 是 mn 矩阵， B 是，nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB027 (94 年) 设有向量组 1(1，1，2，4)， 2(0， 3，1，2)， 3(3，0，7，14)，4 (1，2， 2，0)， 5 (2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1
10、， 2， 4， 528 (96 年) 设 n 阶矩阵 A 非奇异 (n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则(A *)*等于（A）A n-1A（B） A n+1A（C） A n-2A（D）A n+2A二、填空题29 (00 年) _30 (91 年) 若随机变量 X 服从均值为 2，方差为 2 的正态分布且 P2X403，则 PX0_31 (91 年) _32 (94 年) 设 D(，y 2y 2y1，则 (y)ddy_33 (99 年) 设 D 是由直线 2，y0，y2 以及曲线 所围成的平面域，则 yddy_34 (87 年) 4sind_35 (94 年) _36 (01 年) (3si
11、n 2)cos2d_37 (94 年) 设区域 D 为 2 y2R2，则 _38 (01 年) 设平面域 D 由直线 y ，y1 及 X1 所围成则 _考研数学三（综合）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1，则原曲线有水平渐近线 y1，又 ，则原曲线有铅直渐近线 0，所以应选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 则应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 则 f(1)2，由 f()周期性知， f(5)f(1)2故应选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知，在a，b上，f()0 单调减，
12、曲线 yf()上凹，如图15 S1 表示 yf()和 a，b 及 轴围成曲边梯形面积，S 2 表示矩形abBC 的面积，S 3 表示梯形 AabB 的面积由图 15 可知，S 2S 1S 3故应选B5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()f() 知，f()为偶函数，而由在 ( ，0)内 f()0，且 f()0 知在(，0)内，yf()的图形下凹单调增，则 f()由图 16 图形可知，在(0， )内，f() 0，f () 0，则应选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 由 () ()知，()为偶函数，其图形关于 y 轴对称，如图17 由几何意义可知，F(a)S 1 1a()dS 2 则 S1
13、 S 2，即 F(a)故应选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则XYN(1 ， )XYN( 1， )由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为 ，则 PXY1 故应选 B8 【正确答案】 A【试题解析】 令 f() 2，在(0，)上，f() 20，f()20，取01则 dy 2 y f(1)f(1) (1) 21 22 () 2 由于0，则 0dyy，从而选项 B、C、D 均不正确，故应选 A9 【正确答案】 C【试题解析】 令 f() ，显然 f()满足原题设条件，而 f(0)0，f (0) (不存在
14、)，则选项 A、B、D 均不正确，故应选 C10 【正确答案】 C【试题解析】 令 f() ，显然 f()，f() 都在(0，1)内连续，但 f()在(0 ，1)内无界，则选项 A、B 不正确 若令 f() ，显然 f()在(0，1)内有界，但 f() 在(0，1)内无界，则 D 不正确，故应选 C11 【正确答案】 D【试题解析】 则 A、B、C 均不正确，故应选 D12 【正确答案】 C【试题解析】 令 f() 3，显然 (，)时，f() 3 2且 f()3 2，f(0)0，则 A、B、D 均不正确，故应选 C13 【正确答案】 D【试题解析】 由于当 时 0，1cos 2，所以令 f()
15、 2，则 f()符合原题设条件而 f()在 0 处可导，f(0) 0，取极小值，则 A、B、C 均不正确，故应选 D14 【正确答案】 B【试题解析】 若取 f()(a) ，即令 f() (a) 2，则显然 f()符合原题条件，f() (a) 2 在 0 取极大值，且(a，f(a) 也不是y (a) 2 的拐点，则 A、C、D 均不正确，故应选 B15 【正确答案】 A【试题解析】 令 f()cos 1，F() sin1 显然 f()是偶函数，周期函数，但 F()不是奇函数，也不是周期函数，则 B、C 均不正确 若令 f()，F()2，则 f()单调增，但 F()不单调增，因此，D 也不正确，
16、故应选 A16 【正确答案】 A【试题解析】 令 f()，则 f()1 f()，但 f()1 f()，但 f()1 则选项 B 和 D 均不正确 若令 f() 2，则 f()2 ，但 f() 所以 C 也不正确，故应选 A17 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)0，f(0)0 取 f()，则 F() 0(2t 2)tdt 18 【正确答案】 B【试题解析】 令 f()，则 但 f()1，从而 f(a)f(2a)1，则 A、C 、D均不正确，故应选 B19 【正确答案】 B【试题解析】 由 f() ln2 知 f(0) ln2 (1) f()2f() (2) 显然 C、D 选项不符合(1
17、)式，A 选项不符合 (2)式，故应选 B20 【正确答案】 D【试题解析】 令 () f() 21 显然 f()和 ()符合原题条件，而 f()1， 2() 1，f()2 均无间断点，则 A、B、 C 均不正确，故应选 D21 【正确答案】 C【试题解析】 由原题设可令 f() 3，显然 f()符合原题条件而在 (，0)内，f()3 20 ，f() 6 0则 A、B、D 均不正确，故应选 C22 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(0)f ( 0)0，f( 0)0可令 f()( 0)3显然此f()符合原题条件，而 f()3( 0)2 显然 f(0)是 f()极小值而不是极大值，则 A不
18、正确，又 f(0)0，而在 0 任何邻域内 f()可正也可负，从而 f(0)不是 f()的极值点，因此 B 和 C 也不正确，故应选 D23 【正确答案】 A【试题解析】 令 f()1，则 tf(2t 2)dt tdt 显然 B、C 、D 均不正确，故应选 A24 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，可令 f()1，此时方程 f(t)dt 0 变为(a)(b)0，即 2(ab)0该方程在(a，b)内有且仅有一个实根 ，则 A、C、D 均不正确，故应选 B25 【正确答案】 D【试题解析】 令 f()，显然 f()满足原题条件，而 g() 显然 A、B、C均不正确，故应选 D26 【正确答
19、案】 B【试题解析】 用排除法： 当 mn 时，若 A ，B3，4，则有AB0，故 A 不对； 当 nm 时，若 A1 2， B ，则有AB0，故C 不对； 当 nm 时，若 A1 2，B ，则有AB30，故 D 不对； 因此，只有 B 正确27 【正确答案】 B【试题解析】 观察易知 33a 1 2， 52 1 2故 A、C 都是线性相关组，A、C 都不对当 C 组线性相关时，D 组也线性相关，故 D 也不对，于是只有 B正确28 【正确答案】 C【试题解析】 令 A ，显然 A 符合原题条件，由伴随矩阵定义易知 而A2，则A n-12，A n+18，A n+216；故 A、B、D 均不正确
20、，故应选 C二、填空题29 【正确答案】 【试题解析】 本题常规的求解方法是先把 根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填 事实上，该积分在几何上表示单位圆(1) 2y 21面积的 ，如图 1130 【正确答案】 02【试题解析】 由于正态分布的密度函数是关于均值 2 对称由图 12 易知PX0S 205S 105030231 【正确答案】 a3【试题解析】 事实上，在几何上原题中积分应等于球体 2y 2z 2a2 的体积的一半，因此应为 a332 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 实际上是圆域 由形心公式知： 其中 分别表示区域 D 形心的 坐
21、标和 y 坐标，S D 表示区域 D 的面积本题中的圆域 形心显然是圆心( )，则 ，而 SD 则 故33 【正确答案】 4【试题解析】 积分域 D 如图 13 所示，由图 1 3 不难看出 1，积分域 D的面积 SD 应为正方形面积减去半圆面积，即 S D 4 因此，34 【正确答案】 0【试题解析】 由于 4sin为奇函数，且积分区间， 关于原点对称35 【正确答案】 ln3【试题解析】 原式36 【正确答案】 【试题解析】 37 【正确答案】 【试题解析】 由于本题积分域为 2y 2R2，由 和 y 的对称性知 因此38 【正确答案】 【试题解析】 先画出积分域 D 如图 14ABCy 将 D 分为两部分 D1(ABO)和 D2(ABOC) 由于 是 的奇函数，D 1 关于 y 轴左右对称则 同理， 是 y 的奇函数，D 2 关于 X 轴上下对称则 故原式
