1、考研数学三（行列式）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题错误的是( ) （A）若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AB10 与矩阵 BA2 也可交换（B）若矩阵 A 一 B 和矩阵 A+B 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换（C）若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AT 和矩阵 BT 也可交换（D）若矩阵 AB 和矩阵 BA 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换2 设 A 为反对称矩阵，且A0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A 为 A 的伴随矩阵，则A TA(BT)-1=( )（A）（B）（C）（D）3 设 3
2、阶矩阵 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0 （B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0 （D）ab 且 a+2b04 设 A、B 为 n 阶方阵，且对 ，有EA= E 一 B，则( )（A）E+A=E+B（B） A 与 B 相似（C） A 与 B 合同（D）A、B 同时可对角化或 A、B 同时不可对角化5 A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则( )（A）A 不可逆，B 一 A 也不可逆 （B） A 可逆，E+A 也可逆（C） A2 一 A+E 与 A2+A+E 均可逆 （D）A 不可逆，且 A2 必为 06 已知 A=(aij)nn，B
3、=(b ij)nn且有关系 bij= 系式正确的是( )（A）A(B+E)=B （B） (B+E)A=B（C） B(AE)=A （D）(EA)B=A7 设 A 为 n 阶矩阵，将 A 的第 i，j 行互换后再将第 i，j 列互换得到矩阵 B，则“A与 B 等价 ”，“A 与 B 相似 ”，“A 与 B 合同”中成立的关系共有( )个（A）0 （B） 1 （C） 2 （D）38 设 中与 A等价的矩阵有( ) 个（A）0（B） 1（C） 2（D）39 A、B 为 n 阶矩阵，且(A 一 B)2=E。则(层一 AB-1)-1( )（A）B(A 一 B) （B）一 B(A 一 B) （C） B 一(
4、A 一 B) （D）(A 一 B)B-110 下列矩阵中能与对角矩阵相似的是( ) （A）A，B，C （B） A，B ， D （C） B，C，D （D）A，C，D11 A、B 均为 n 阶方阵， 则 C 的伴随矩阵 C=( )（A）（B）（C）（D）12 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=( )（A）A -1+B1（B） A(A+B)-1B （C） A+B （D）(A+B) -1二、填空题13 在四阶行列式中，取负号且包含因子 a23 和 a31 的项是 _14 四阶行列式 的值等于_15 行列式 中元素 2 的代数余子式为_16 如果 则
5、 D1=_17 四阶行列式 D= =_18 三阶行列式19 行列式 _.20 设矩阵 则逆矩阵(A 一 2E)-1=_21 设 n 阶可逆矩阵 A 满足 2A=kA，k0，则=_.22 已知 是 B 的伴随矩阵，则B _.23 设 其中 ai0，b i0，i=1，2，n 则矩阵 A 的秩RA=_。24 已知 B 是三阶非零矩阵，且 BA=0，则 RB=_25 设 n 阶矩阵 A 的各列元素之和为 2 且A=4，则它的伴随矩阵 A 的各列元素之和为_26 设 则 A100=_27 n 阶方阵(一，0)U(0，+) ，当 ab 且 a一(n 一 1)b 时，秩 A=_28 已知正、负惯性指数均为
6、1 的二次型 XTAX 通过合同变换 X=Py 化为 YT=BY，其中 B 为 ,则 a=_.29 已知 A 为三阶方阵，且满足 A2 一 A 一 2E=O，行列式 030 设 且 AB=D，B 是三阶非零矩阵，则其伴随矩阵 B=_31 已知方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=0，则 A-1=_，(A+2E) -1=_32 设33 设方阵 A 满足 2000A=10A2 一 E，则(A 一 100E)-1=_34 考研数学三（行列式）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A：若 AB：BA，则 AB10.BA
7、10=AB.BA.B9.A9=BA.B10A10=BA.(BA)10=BA.(AB)10=BA10.AB10,A 项命题正确B：若(A 一 B)(A+B)=(A+B)(A 一 B)，则有 AB=BAB 项命题正确C：若 AB=BA，则 ATBT=(BA)T=(AB)T=BTAT，C 项命题也正确故应选 D事实上，由(AB)(BA)=(BA).(AB)，推不出 AB=BA【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 A TA(B-1)-1=(B-1)T-1 一 A-1 一(A T)-1【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 由秩 A=1 知秩 A=31=2，则A=0由 (ab)
8、2(a+2b)=0 可得 a=b 或 a+2b=0，但 a=b 时，秩 A=12故 ab 且 a+2b=0【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 A【试题解析】 由EA=E 一 B知，A、B 具有相同的特征值1， 2， n，即E A=E 一 B=( 1)(2)( 2)，而一 A，一 B的特征值为一 1，一 2， ，一 n，所以E 一 (一 A)=E 一(一B)=( 1+1)(+ n)，即E+A=E+BB,C,D 均可举反例说明不成立其中 C 项不正确是显然的，因为 A、B 合同，其前提是 A、曰为对称矩阵反例：如 A 则 A、B 的特征多项式相同，但 A、B 不相似，否则 P-1AP=BA=PBP
9、 -1=PEP-1=E，矛盾，可排除 B,D.【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 由A 3=A 3=0 知 A 不可逆，而(EA)(E+A+A 2)=EA3，(E+A)(EA+A 2)=E+A3 知，E A，E+AE+A+A 2，E 一 A+A2 均可逆由行列式性质A 3=A 3=0，可知 A 必不可逆，但从(E 一 A)(E+A+A2)=EA3=E，(E+A)(E A+A2)=E+A3=E，知 EA，E+A，层+A+A 2，EA+A 2 均可逆当 A3=0 时，A 2 是否为 0 是不能确定的，例如：A13=0，但 A120，A 23=0，且 A22=0，故选 C【知识模块】
10、 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由关系式 可得,由关系得 B=A+BA从而得B=(E+E)A【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知 B=E(i,j)AE(i，j)，而 E(i， j)可逆，且 E(i,j)-1=E(i,j)，又E(i.j)T=E(i，j)，故 可逆矩阵 P 使 P-1AP=B，即 PTAP=B，由定义知 A 与曰相似且合同，由矩阵等价的定义知它们也等价【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 D【试题解析】 同阶矩阵等价的充要条件是秩相等 秩 rA=3 又 其秩为 2， D 的秩为 3，故有二个矩阵与 A 等价【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题
11、解析】 由(A 一 B)2=E，得(A 一 B)(A 一 B)=E A 一 B 可逆，且(A 一 B)-1=A 一 B 则 (E AB-1)-1=(BA)B-1-1=B(B 一 A)-1=B一(A 一 B)-1=一 B(A 一 B)-1=一 B(A 一 B)【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 B 是实对称矩阵，故它一定相似于对角矩阵而选项 D 中无B，故 D 不正确由得 B 的特征值为1=2=2， 3=5 秩 r(1EC)=2， C 的属于特征值 1=2=2 的特征向量只有一个因此 C 只有两个线性无关的特征向量故 C 不相似于对角矩阵，选项 A、C 都不正确【知识模块
12、】 矩阵11 【正确答案】 D【试题解析】 其中 E1 为 n阶单位矩阵，E 2 为 2n 阶单位矩阵【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 B【试题解析】 (A -1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1+B-1)A(A+B-1)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B【知识模块】 矩阵二、填空题13 【正确答案】 a1 14a23a31a42【试题解析】 由行列式的定义可知，包含因子 a23 和 a31 的项必为 a1ia23a31a4j)所以i,j 定为 2，4 或 4，2；又因为此项符号为负号，所以
13、 i=4，j=2，故答案为a114a23a31a42【知识模块】 行列式14 【正确答案】 (a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)【试题解析】 【知识模块】 行列式15 【正确答案】 0【试题解析】 元素 2 的代数余子式为【知识模块】 行列式16 【正确答案】 3M【试题解析】 D 1【知识模块】 行列式17 【正确答案】 218【试题解析】 【知识模块】 行列式18 【正确答案】 2+2+2+1【试题解析】 用 ri 表示第 i，c j 表示第 j 列，则【知识模块】 行列式19 【正确答案】 (一 1)n-1n!【试题解析】 D 中不为零的元素为 a12=1，a 23=2
14、， ，a n-1，n=n 一 1，a n1=1，故在 n!项中，非零项只有 a12a23a34an-1,nan1=n!，其列标排列 2 3 4(n 一 1)1 的逆序数为 n 一 1因此【知识模块】 行列式20 【正确答案】 【试题解析】 为求其逆可有多种方法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆如果对(A 一 2E；E)作行变换的有从而知(A一 2E)-1 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：主对换副变号，即那么再利用 本题亦可很容易求出(A 一 2E)-1【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 因为 n 阶矩阵 A 可逆，所以A0 又kA=k nA =2A，故 kn=2，k=
15、 【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【试题解析】 已知B=B 3，而B =A， A 2-1=A 1 -1A 2 -1B 是 4 阶矩阵，B =B 3，而B可用拉睁拉斯展开式来计算，于是B = A 1.A 2-1=A 1A 2 -1= 所以B= 【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 1【试题解析】 因为矩阵 A 中任何两行都成比例(第 i 行与第 j 得的比为 )所以 A中二阶子式全为 0，又因为 ai0，6i0，知 a1b10，A 中有 t阶子式非零故知rA=I注意， (b1b2bn)的这种分解可朋来汁算An【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 1【试题解析】 A 有一个二阶子式 秩 rA
16、2 又 B0 且 BA=0方程组BX=0 有非零解，且 rA+rB3，从而 0【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 2【试题解析】 设 A 由题设有 AT=【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 【试题解析】 设B3=B2B=一 2BB=一 2B2=(一 2)2BB100=(一 2)99B【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 n【试题解析】 当ab 且 a(1 一 n)b 时，A0，秩 A=n【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 1【试题解析】 A 的正、负惯性指数都为 1，且 A 为三阶方阵A 必有一特征值为 0A=BRA=RB=2 解得 a=1【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 4【试题解
17、析】 设 A 为 A 的任一特征值，对应特征向量为 x0由 Ax=x，有(A 2一 A 一 2E)x=0，即( 2 一 一 2)x=O，从而有 2 一 一 2=0，即 =一 1 或 =2又根据A= 123，A i 为 A 的特征值(i=l，2，3)，及 01=2=一 1， 3=2进而由Axi=ixi，有(A+2E)x i=(i+2)i，x i 属于 i 的特征向量，可见 A+2E 的三个特征值为i=i+2，即 1=2=1， 3=4，故行列式A+2E=u 1u2u3=.4=4【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 D【试题解析】 AB=D 且 B0方程组 AX=0 有非零解则由于-2a 和 13a
18、 不可能同时为0，故 rA=2从而 rB1又 B0，所以 rB=1【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O 得 A(AE)=2E，即 ，故 A 是可逆，且 A-1= (AE)为了求(A+2E) -1，找矩阵 B，使(A+2E)B=E，则(A+2E) -1=B 由于 故【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 【试题解析】 设(A 一 100E)(10A+aE)=一 bE，即 IOA2+(a 一 1000)A+(b 一 lOOa)E=0比较得 解得【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 【试题解析】 注意 即初等方阵 E，它左乘于矩阵 A 相当于把 A 的第一、三行交换位置它的 20 次幂左乘于 A，即 A 的第一、三两行交换 20 次，结果仍为 A同理，它的 21 次幂右乘于 A，相当于把 A 的第一、三两列交换 21 次，结果是 A 的第一、三两列交换位置【知识模块】 矩阵
