1、考研数学二(重积分)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 rf(rcos,rsin)dr 等于( )2 设 D=(x, y)0x , 0y,则 sinxsiny.maxx,yd 等于( )3 设 ,其中 D:x 2+y2a2,则 a 值为( )二、填空题4 设 f(u)连续,则 =_5 设 f(x)= =_6 设 f(x)连续,则 =_7 设 f(x,y)在区域 D:x 2+y2t2 上连续且 f(0,0)=4,则 =_8 设 a0,f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面,则 I= f(x)g(y-x)dxdy=_9 设 f(
2、x)= f(y)f(x+y)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算11 已知 f(x, y)= ,设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域,求 F(t)=12 设 f(x)连续,且 f(0)=1,令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0),求 F(0)13 计算二重积分 I=14 计算 (x2+y2)dxdy,其中 D=(x,y)x 2+y24,x 2+y22x15 计算 (x+y2)dxdy,其中 D:x 2+y22x+2y-116 设 f(x,y)=17 计算 I= ,其中 D=(x,y)-1x1,0y218 计算19 计算 I=
3、围成20 计算 I=21 计算 ,其中 D 为单位圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分22 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy,其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)围成的区域23 设 f(x)在a,b上连续,证明:24 设 f(x,y),g(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续,且 g(x,y)0证明:存在(,)D ,使得25 设 f(x)在0,a(a0)上非负、二阶可导,且 f(0)=0,f(x) 0, 为 y=f(x),y=0,x=a 围成区域的形心,证明:26 设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb 证明:27 设 f(x)为
4、连续函数,计算 +yf(x2+y2)dxdy,其中 D 是由y=x3, y=1, x=-1 围成的区域28 交换积分次序并计算29 设 f(x)在0,1上连续且单调减少,且 f(x)0证明:30 证明:用二重积分证明考研数学二(重积分)模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D:0x1 ,0y ,选(D)【知识模块】 重积分2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性,令 D1=(x,y)0x,0yx,选(B)【知识模块】 重积分3 【正确答案】 B【试题解析】 令 (02,0ra
5、)由解得 a=2,选(B)【知识模块】 重积分二、填空题4 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题解析】 【知识模块】 重积分5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 重积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分7 【正确答案】 8【试题解析】 由当 t0 时,t-ln(1+t)= 由积分中值定理得【知识模块】 重积分8 【正确答案】 a 2【试题解析】 由 f(x)g(y-x)=【知识模块】 重积分9 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x,y)-x+,0y1上,f(y)=y ;在 D2:0x+y1 上,f(x+y)=x+y,则在 D0=D1D2=(x,y)-yx1
6、-y,0y1)上,f(y)f(x+y)=y(x+y),所以【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 令【知识模块】 重积分11 【正确答案】 当 t0 时,F(t)=0;当 0t1 时,F(t)= 当1t2 时,F(t)= 当 t2 时,F(t)=1,则 F(t)=【知识模块】 重积分12 【正确答案】 令 (02,0tt)由 F(t)=得 F(t)=2tf(t2),F(0)=0 ,【知识模块】 重积分13 【正确答案】 【知识模块】 重积分14 【正确答案】 【知识模块】 重积分15 【正确答案】 D:x 2+y22x+2y-1 可化为 D:(
7、x-1) 2+(y-1)21,【知识模块】 重积分16 【正确答案】 令 D1=(x,y)1x2,【知识模块】 重积分17 【正确答案】 令 D1=(x,y)-1x1,0yx 2, D 2=(x,y)-1x1,x 2y2,【知识模块】 重积分18 【正确答案】 令【知识模块】 重积分19 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1,D 2,其中 D1=(x,y)0x1,D2=则【知识模块】 重积分20 【正确答案】 令【知识模块】 重积分21 【正确答案】 令【知识模块】 重积分22 【正确答案】 根据对称性 ,其中 D1是 D 位于第一卦限的区域【知识模块】 重积分23 【正确答案】 令【知识模
8、块】 重积分24 【正确答案】 因为 f(x,y)在 D 上连续,所以 f(x,y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m,故 mf(x,y)M,又由 g(x,y)0 得 mg(x,y)f(x,y)g(x ,y)Mg(x ,y) 积分得 (1)当f(x,y)g(x ,y)d=0 ,则对任意的(,)D,有(2)当 (x,y)d0 时,由由介值定理,存在(,)D,使得f(,)= 即【知识模块】 重积分25 【正确答案】 【知识模块】 重积分26 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称,【知识模块】 重积分27 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x),则【知识模块】 重积分28 【正确答案】 【知识模块】 重积分29 【正确答案】 因为f(x)0 且单调减少,所以(y-x)f(x)-f(y)0 ,于是 2I0,或 I0,所以【知识模块】 重积分30 【正确答案】 令 D1=(x,y)x 2+y2R2,x0,y0,S=(x,y)0xR,0yR ,D 2=(x,y)x 2+y22R2,x0,y0【知识模块】 重积分