1、考研数学二（重积分）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( )2 设 D=(x， y)0x ， 0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( )3 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 值为( )二、填空题4 设 f(u)连续，则 =_5 设 f(x)= =_6 设 f(x)连续，则 =_7 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则 =_8 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= f(x)g(y-x)dxdy=_9 设 f(
2、x)= f(y)f(x+y)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算11 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)=12 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F(0)13 计算二重积分 I=14 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24，x 2+y22x15 计算 (x+y2)dxdy，其中 D：x 2+y22x+2y-116 设 f(x，y)=17 计算 I= ，其中 D=(x，y)-1x1，0y218 计算19 计算 I=
3、围成20 计算 I=21 计算 ，其中 D 为单位圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分22 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)围成的区域23 设 f(x)在a，b上连续，证明：24 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得25 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f(x) 0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明：26 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：27 设 f(x)为
4、连续函数，计算 +yf(x2+y2)dxdy，其中 D 是由y=x3， y=1， x=-1 围成的区域28 交换积分次序并计算29 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：30 证明：用二重积分证明考研数学二（重积分）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 重积分2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)0x，0yx，选(B)【知识模块】 重积分3 【正确答案】 B【试题解析】 令 (02，0ra
5、)由解得 a=2，选(B)【知识模块】 重积分二、填空题4 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题解析】 【知识模块】 重积分5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 重积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分7 【正确答案】 8【试题解析】 由当 t0 时，t-ln(1+t)= 由积分中值定理得【知识模块】 重积分8 【正确答案】 a 2【试题解析】 由 f(x)g(y-x)=【知识模块】 重积分9 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y)-x+，0y1上，f(y)=y ；在 D2：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D2=(x，y)-yx1
6、-y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 令【知识模块】 重积分11 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；当 0t1 时，F(t)= 当1t2 时，F(t)= 当 t2 时，F(t)=1，则 F(t)=【知识模块】 重积分12 【正确答案】 令 (02，0tt)由 F(t)=得 F(t)=2tf(t2)，F(0)=0 ，【知识模块】 重积分13 【正确答案】 【知识模块】 重积分14 【正确答案】 【知识模块】 重积分15 【正确答案】 D：x 2+y22x+2y-1 可化为 D：(
7、x-1) 2+(y-1)21，【知识模块】 重积分16 【正确答案】 令 D1=(x，y)1x2，【知识模块】 重积分17 【正确答案】 令 D1=(x，y)-1x1，0yx 2， D 2=(x，y)-1x1，x 2y2，【知识模块】 重积分18 【正确答案】 令【知识模块】 重积分19 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1=(x，y)0x1，D2=则【知识模块】 重积分20 【正确答案】 令【知识模块】 重积分21 【正确答案】 令【知识模块】 重积分22 【正确答案】 根据对称性 ，其中 D1是 D 位于第一卦限的区域【知识模块】 重积分23 【正确答案】 令【知识模
8、块】 重积分24 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y) 积分得 (1)当f(x，y)g(x ，y)d=0 ，则对任意的(，)D，有(2)当 (x，y)d0 时，由由介值定理，存在(，)D，使得f(，)= 即【知识模块】 重积分25 【正确答案】 【知识模块】 重积分26 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 重积分27 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 重积分28 【正确答案】 【知识模块】 重积分29 【正确答案】 因为f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0 ，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 重积分30 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y2R2，x0，y0，S=(x，y)0xR，0yR ，D 2=(x，y)x 2+y22R2，x0，y0【知识模块】 重积分
