1、考研数学二（重积分）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设区域 D 由 0，y0， y ，y1 围成，若 I1 ln(y)3ddy，I 2 (y) 3ddy，I 3 sin3(y)ddy ， 则( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 2I 3（D）I 2I 3 I12 累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( )（A）（B）（C）（D）3 设 D(，y)0，0y，则 sinsiny.max，yd 等于( )（A）（B）（C）（D）4 设 ，其中 D： 2y 2a2，则 a 值为( ) （A）1（B）
2、2（C）（D）二、填空题5 计算 _6 计算 _7 设 f(u)连续，则 _8 设 f() ，则 0f()d_9 设 f()连续，则 _10 设 f(，y)在区域 D： 2y 2t2 上连续且 f(0，0)4，则_11 设 a0， f()g() 而 D 表示整个平面，则 I f()g(y)ddy_ 12 设 f() D 为 Oy面，则 f(y)f(y)ddy _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 计算 sin2cosy2ddy，其中 D： 2y 2a2(0，y0)14 计算 其中 D(，y) 2y 21，0，y015 计算 (2y 2)ddy，其中 D(，y) 2y 24，
3、0y16 计算17 已知 f(，y) ，设 D 为由 0，y0 及 yt 所围成的区域，求 F(t) (，y)ddy 18 设 f()连续，且 f(0)1，令 F(t) f(2y 2)ddy(t0)，求 F(0) 19 计算二重积分 I20 计算 (2y 2)ddy，其中 D(，y) 2y 24， 2y 2221 计算 (y 2)ddy，其中 D： 2y 222y122 设 f(，y) 且 D： 2y 22，求 f(，y)ddy23 计算 I ，其中 D(， y)11 ，0y224 计算25 计算 I yddy，其中 D 由 y，y 及 y 围成26 计算 I27 计算 ，其中 D 为单位圆
4、2y 21 所围成的第一象限的部分28 计算二重积分 (24y 2)ddy，其中 D 是曲线( 2y 2)2a 2(2y 2)围成的区域29 设 f()在a，b上连续，证明： abf()dbf(y)dy abf()d230 设 f(，y)，g(，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(，y)0证明：存在(，)D ，使得 (，y)g(，y)d f(，) g(，y)d 31 设函数 f()Ca，b，且 f()0，D 为区域 ab，ayb 证明：(ba) 232 设 f()为连续函数，计算 yf( 2 y2)ddy，其中 D 是由y 3，y1， 1 围成的区域33 交换积分次序并计算 (a0)34
5、 设 f()在0，1上连续且单调减少，且 f()0证明：35 证明：用二重积分证明考研数学二（重积分）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1 得ln(y) 30，于是 I1 ln(y) 3ddy0； 当 y1 时，由(y) 3sin3(y)0 得 I2I30， 故 I2I3I1，应选 B【知识模块】 重积分2 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：01 ，0y ，选 D【知识模块】 重积分3 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1(，y) 0，0y，故选 B【知识
6、模块】 重积分4 【正确答案】 B【试题解析】 解得 a2，选 B【知识模块】 重积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 重积分6 【正确答案】 1sin1【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 重积分7 【正确答案】 f( 2 1)【试题解析】 【知识模块】 重积分8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 重积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分10 【正确答案】 8【试题解析】 由当 t0 时，tln(1t)t t o(t 2) t2(t0)， 由积分中值定理得 f(，y)ddy f( ，).t 2，其中(，)D， 于是2f(0，
7、 0)8 【知识模块】 重积分11 【正确答案】 a 2【试题解析】 由 f()g(y ) 得 Ia 2【知识模块】 重积分12 【正确答案】 【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由对称性得 I sin2cosy2ddy siny2cos2ddy，则得I (1cosa 2)【知识模块】 重积分14 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 重积分15 【正确答案】 【知识模块】 重积分16 【正确答案】 【知识模块】 重积分17 【正确答案】 当 t0 时，F(t)0； 当 0t1 时，F(t) 1ddy t2； 当1t2 时，F(t) f(
8、，y)ddy1 (2t) 2； 当 t2时，F(t)1，则【知识模块】 重积分18 【正确答案】 令 (02，0rt) 由 F(t) 02d0trf(r2)dr2 0trf(r2)dr f(u)du 得 F(t)2tf(t 2)，F(0)0，【知识模块】 重积分19 【正确答案】 I ，其中D(，y) 01 ，y 1 令 则D(r，t) t0，0r2sint 于是【知识模块】 重积分20 【正确答案】 【知识模块】 重积分21 【正确答案】 D： 2y 222y1 可化为 D：(1) 2(y1) 21，【知识模块】 重积分22 【正确答案】 令 D1(，y)12， y， 则【知识模块】 重积分
9、23 【正确答案】 令 D1(，y)11，0y 2， D2(，y) 11 ， 2y2，【知识模块】 重积分24 【正确答案】 【知识模块】 重积分25 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，【知识模块】 重积分26 【正确答案】 【知识模块】 重积分27 【正确答案】 【知识模块】 重积分28 【正确答案】 根据对称性 (24 y 2)ddy4 (2y 2)ddy，其中 D1 是 D位于第一卦限的区域【知识模块】 重积分29 【正确答案】 令 F() af(t)dt， 则 abf()dbf(y)dy abf()F(b)F()d F(b)abf()d abf()F()d F 2(b)
10、abF()dF() F 2(b)【知识模块】 重积分30 【正确答案】 因为 f(，y)在 D 上连续，所以 f(，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mg(，y)f(，y)g( ，y)Mg(，y) 积分得(1)当 g(，y)d0 时， f(，y)g(， y)d0，则对任意的(， )D，有 (，y)g(，y)df(，) (，y)d (2) 当 g(，y)0 时，由介值定理，存在(，)D，使得 即 f(，y)g(，y)df(，) (，y)d【知识模块】 重积分31 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y 对称， 所以又因为 f() 0，所以 2，从而【知识模块】 重积分32 【正确答
11、案】 设 f()的一个原函数为 F()，则【知识模块】 重积分33 【正确答案】 【知识模块】 重积分34 【正确答案】 等价于 01f2()d01f()d01f()d01f2()d， 等价于 01f2()d01yf(y)dy01f()d01yf2(y)dy， 或者 01d01yf()f(y)f()f(y)dy0 令 I 01d01yf()f(y)f()f(y)dy， 根据对称性，I 01d01f()f(y)f(y)f()dy， 2I 01d()01f()f(y)(y)f() f(y)dy， 因为 f()0 且单调减少，所以(y )f()f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以【知识模块】 重积分35 【正确答案】 令 D1(，y) 2y 2R2，0，y0， S(，y)0R，0yR， D 2 一(，y) 2y 22R2，0，y0 (，y)， 因为 (，y) 0且 D2 D2，令 R 同时注意到 0，根据迫敛定理得【知识模块】 重积分
