1、考研数学数学二模拟试卷 222 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A） （B） （C） （D） 2 （A） （B） （C） （D） 3 可微函数 f(x，y 在点(x o，y o)取得极大值，下列结论正确的是( )（A）f(x o，y)在)yy o 处的导数等于零（B） f(xo，y)在 yy o 处的导数大于零（C） f(xo，y)在 yy o 处的导数小于零（D）f(x o，y)在 yy o 处的导数不存在4 微分方程 2yy(y) 2 的通解为( )（A）y(x c)。（
2、B） yc 1(x1) 2（C） yc 1(x c) 2（D）yc 1(xc 2)25 若曲线 yx 2ax b 和 2y1xy 3 在点(1， 1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（A）a0， b2（B） a1，b3（C） a3，b1（D）a1 ，b16 在区间( ，+)内，方程x 14 x 12 cosx0( )（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根7 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 1 （B） PT（C）
3、 P（D）(P -1)8 设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3 表示 A 中三个列向量，则 A( )（A）A 3，A 2，A 1（B） A1A 2，A 2A 3，A 3A 1（C） A1，A 2，A 3（D）A 1，A 1A 2，A 1A 2A 3二、填空题9 10 设 ysinx，0x 2 ，t 为_时，右图中阴影部分的面积 S1与 S2 之和 S 最小?11 设 f(x)有连续的导数，f(0) 0 且 f(0)b，若函数在 x0 处连续，则常数 A_12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 设 A 从原点出发，以固定速度 vo 沿 y 轴正
4、向行驶， B 从(x o，0)出发(x o0)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程18 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(12)1，试证：(1)存在 (12，1)，使 f()；(II)对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()f()119 20 设 f(x)在( ，+)上有定义，且对任意的 x，y ( ，+)有f(x)f(y) x y证明：21 设 zf(x 2y 2，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求22 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值1、1 的特征向量，向量
5、3满足 A3 2 3， (I)证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P( 1， 2， 3)，求P1 AP23 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak0，试证明矩阵 EA 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)考研数学数学二模拟试卷 222 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 D3 【正确答案】 A4 【正确答案】 D5 【正确答案】 D6 【正确答案】 C7 【正确答案】 B8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 由于 F(x)在 x0 连续
6、，12 【正确答案】 按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程13 【正确答案】 被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u14 【正确答案】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为aii i， 所以 aa a600a2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 (I)由题设，引入辅助函数 (x)xf(x)，则 (x)在0，1 上连续，由已知条件及(I)中结论，知 g(x)
7、也是连续函数，且 g(0)f(0)0e o0，g()()e 0由罗尔定理知存在一点 (0，)，使得 g()0，又 g(x)e x f(x)x e x f(x)1，所以f()f() 10 此即 f()f()1证毕19 【正确答案】 由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D1 为辅助性半圆形区域，20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 (I)假设 1， 2， 3 线性相关，则 3 可由 1， 2 线性表出，可设3 k11k 22，其中 k1，k 2 不全为 0，否则由等式 A3 2 3 得到 20，不符合题设因为 1， 2 为矩阵 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，所以A1 1， A2 2，则 A3A(k 11k 22) k11k 22 2k 11k 2223 【正确答案】 由代数公式 1a k(1a)(1 aa k1 )以及 A 与 E 可交换，有 EA k(EA)(EAA k1 )，而 Ak0，故有 (EA)(EAA k1 )E， 可知 EA 可逆，且有 (EA) 1 EAA k1
